Định lý Miquel và các áp dụng liên quan

Bài viết "Định lý Miquel và các áp dụng liên quan" trình bày định lí Miquel cùng một số tính chất và áp dụng liên quan về đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần, đường thẳng Simson, định lí Mannheim,... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý Miquel và các áp dụng liên quan Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018ĐỊNH LÝ MIQUEL VÀ CÁC ÁP DỤNG LIÊN QUAN Nguyễn Trường Sơn Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình Tóm tắt nội dung Báo cáo trình bày định lí Miquel cùng một số tính chất và áp dụng liên quan.1 Định lí Miquel và một số tính chất liên quanĐịnh lý 1. Cho tam giác ABC và các điểm D, E, F khác A, B, C, theo thứ tự thuộc cácđường thẳng BC, CA, AB. Khi đó a. Các đường tròn ( AEF ), (CDE), ( BDF ) cùng đi qua một điểm. b. Các đường tròn ( AEF ), (CDE), ( BDF ), ( ABC ) cùng đi qua một điểm khi và chỉ khi E, F, D thẳng hàng.Chứng minh. F A E M B D Ca. Gọi M là giao điểm thứ hai của ( BDF ), (CDE).Ta thấy: ( ME, MF ) ≡ ( ME, MD ) + ( MD, MF ) ≡ (CE, CD ) + ( BD, BF ) 215 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 ≡ (CE, BC ) + ( BC, BF ) ≡ ( AE, AF ) (mod π )Vậy M thuộc đường tròn ( AEF ).Điều đó có nghĩa là các đường tròn ( AEF ), (CDE), ( BDF ) cùng đi qua một điểm. b. Theo phần a, ta có ( AEF ), (CDE), ( BDF ) cùng đi qua điểm M. Mặt khác:( DE, DF ) ≡ ( DE, CE) + (CA, AB) + ( BF, DF ) ≡ ( MD, MC ) + (CA, AB) + ( BM, DM) ≡ ( MB, MC ) − ( AB, AC ) (mod π ) Vậy các điều kiện sau tương đương: 1. Các đường tròn ( AEF ), (CDE), ( BDF ), ( ABC ) cùng đi qua một điểm. 2. M ∈ ( ABC ) 3. ( MB, MC ) ≡ ( AB, AC ) (mod π ) 4. ( MB, MC ) − ( AB, AC ) ≡ 0 (mod π ) 5. ( DE, DF ) ≡ 0 (mod π ) 6. DE ≡ DF 7. D, E, F thẳng hàng. Chú ý. Khi D, E, F không thẳng hàng, M được gọi là điểm Miquel của tam giác ABCvà các điểm D, E, F.Khi Khi D, E, F thẳng hàng, M được gọi là điểm Miquel của tam giác ABC và đườngthẳng DEF.Tính chất 1. Cho tứ giác toàn phần ABCDEF. Khi đó đường tròn ngoại tiếp các tam giácABF, DCF, BCE, ADE đồng quy. E A M D B C F 216 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018Chứng minh. Gọi M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp các tamgiác ABF và ADE. Khi đó ta có ( MA, MC ) ≡ ( BA, BC ) (mod π ) và ( ME, MA) ≡( FE, FA)(mod π ). Suy ra: ( ME, MB) ≡ ( ME, MA) + ( MA, MB) ≡ ( DE, DA) + ( FA, FB) ≡ (CE, DA) + ( DA, CB) ≡ (CE, CB) (mod π ) Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác CBE đi qua điểm M. Chứng minh tương tự tacũng suy ra được đường tròn ngoại tiếp các tam giác CDF đi qua điểm M.Nhận xét 1. Trong trường hợp đặc biệt, tứ giác ABCD nội tiếp thì ba điểm M, E, F thẳnghàng và M chính là hình chiếu của G ( giao điểm của BD và AC) lên EF. Đặc biệt là MGlà phân giác của BMD, \ \ AMC và O, G, M thẳng hàng. E C M G B F D A OChứng minh. Do các tứ giác EMAD và CMFD nội tiếp nên ( ME, MF ) ≡ ( ME, MD ) + ( MD, MF ) ≡ ( AE, AD ) + (CD, CF ) ≡ 0 (mod π )Suy ra E, M, F thẳng hàng.Lại có( MD, MB) ≡ ( MD, ME) + ( ME, MF ) + ( MF, MB) ≡ 2. ( AD, AE) ≡ ( MB, MD ) (mod π )Vậy tứ giác OBMD nội tiếp. Suy ra OMB \ = ODB [ = OBD [ = OMD \ ⇒ OM⊥ EF.Theo định lí Brocard ta lại có OG ⊥ EF. Từ đó suy ra MG là phân giác của BMD, \ \ AMC vàO, G, M thẳng hàng.Tính chất 2. Tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác CBE, CDF, ADE, ABF vàđiểm Miquel M cùng thuộc một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường trònMiquel của tứ giác toàn phần.Trước khi chứng minh tính chất này, tôi xin nhắc lại định lí đảo về đường thẳng Simson:”Nếu hình chiếu của một điểm M trên các cạnh của một tam giác thẳng hàng thì điểm Mnằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.”Chứng minh. Gọi O1 , O2 , O3 , O4 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp cáctam giác EAD, EBC, CDF, ABF. Dễ thấy O1 O3 , O4 O3 , O4 O1 lần lượt là các đường trungtrực của MD, MF, MA. Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng 217 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018O1 O3 , O4 O3 , O4 O1 . Dễ thấy ba điểm H, L, K thẳng hàng. Do đó theo định lí đảo về đườngthẳng Simson ta suy ra M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác O1 O4 O3 .Chứng minh tương tự, ta cũng có M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác O2 O3 O4 . E C M O2 B O4 H K L O1 F D A O3Tính chất 3. Chân các đường vuông góc hạ từ điểm Miquel M lên các đường thẳngAB, BC, CD, DA cùng nằ ...