Định thức

Tài liệu tham khảo lý thuyết định thức và tính chất cơ bản
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định thức ð NH TH CA. Tóm t t lý thuy t: I/ Tính ch t cơ b n c a ñ nh th c: TC1: Phép chuy n v không làm thay ñ i ñ nh th c TC2: N u ñ i ch hai dòng b t kỳ c a ma tr n vuông thì ñ nh th c ñ i d u TC3: N u ñ nh th c có m t hàng ch g m toàn s không thì ñ nh th c b ng không. TC4: M t ñ nh th c có hai hàng gi ng nhau thì b ng không. TC5: N u nhân m i ph n t c a m t hàng nào ñó v i k thì ñ nh th c ñư c nhân lên v ik TC6: M t ñ nh th c có hai hàng t l thì b ng không TC7: N u dòng th i nào ñó c a A có tính ch t: aij = λbj + µcj (j = 1, 2, ..., n) thì: det(A) = λ det(B) + µ det (C) Trong ñó các ph n t dòng th i trong B là b1, b2, b3..., bn, c a C là c1,...,cn TC8: N u có m t hàng là t h p tuy n tính c a các hàng khác thì ñ nh th c b ng không TC9: ð nh th c không thay ñ i n u ta thêm vào m t hàng nào ñó t h p tuy n tính c a các hàng khác. II/ Tính ñ nh th c: (1) ð i v i các ñ nh th c c p 3 có th dùng quy t c Sarrus ñ tính. (2) Tính ñ nh th c b ng phép khai tri n theo dòng (hay c t) n det A = ∑aijAij ; i = 1, 2, ..., n j =1 n ho c det A = ∑aijAij ; j = 1, 2, ..., n i =1 trong ñó: Aij = (-1)i+j detSij (v i Sij là ma tr n có ñư c t ma tr n A b ng cách xóa ñidòng i và c t j (3) Tính ñ nh th c b ng các phép bi n ñ i sơ c p ñưa ñ nh th c v d ng tam giác. (4) Phương pháp thay ñ i các ph n t c a ñ nh th c: D a vào tính ch t sau: N u ta c ng vào m i ph n t c a ñ nh th c D v i cùng m t ph n t x thì ñ nh th c s tăng m t lư ng b ng tích c a x v i t ng các ph n bù ñ i s c a m i ph n t trong D. Biên so n: GV Nguy n Vũ Th Nhân – Dương Minh Thành – T b môn Toán - LýB/ Bài t p:Bài 3.1 ð nh th c c a m t ma tr n thay ñ i th nào n u ta vi t các dòng c a ma tr n theoth t ngư c l iBài 3.2 ð nh th c c p n thay ñ i như th nào, n u ta ñ i d u m i ph n t c a ñ nh th cBài 3.3 ð nh th c ph n ñ i x ng là ñ nh th c mà các ph n t n m ñ i x ng nhau quañư ng chéo chính thì ñ i nhau, nghĩa là aik = - aki. Ch ng minh r ng: ñ nh th c ph n ñ ix ng c p n b ng không n u n l .Bài 3.4 Gi i các phương trình: x2 ... xn-1   1 x 1 a1 a1 2 ... a1n-1 a/  1 a2 a2 2 ... a2n-1  =0 b/   . . . . . . . . . . 1 an an 2 ... ann-11  1 1 1 ... 1 1-x 1 ... 1 .1 . 1 2-x ... 1 =01  . . . . . . . . 1 1 ... (n-1)-x trong ñó a1, a2, ..., an ñôi m t khác nhau  1 1 2 Bài 3.5 Không tính ñ nh th c. Ch ng minh r ng: A =  1 8 5    chia h t cho 13  5 4 3 Bài 3.6 Ch ng minh r ng:  a+x b+y c+z   a b c  x0 x y z  0 1 1 1 a/  x + u y+v z+w   x y z   0 y z = 1 0 z2 y2    =2  b/ y z 0 x  1 z2 0 x2   u+a   u v w  v+b w+c z y x 0  1 y2 x2 0 Bài 3.7 Không khai tri n ñ nh th c, tính  b  a b c 1 a/  n2 (n+1)2 (n+2)2  (n+1)2 (n+2)2 (n+3)2  b/  c c a ...