Đối xứng trong ngôn ngữ: Phần 2

Tài liệu Đối xứng trong ngôn ngữ: Phần 2 thể hiện việc đối xứng là một công cụ chủ yếu để bắc cầu qua cái hố ngăn cách giữa khoa học và nghệ thuật, giữa tâm lý học và toán học. Vì đối xứng đã xuyên suốt nhiều lĩnh vực, từ nghệ thuật thị giác và âm nhạc tới tâm lý học và các lĩnh vực khoa học tự nhiên, nên sẽ không có gì là quá đáng nếu nói rằng ngôn ngữ này là rất quan trọng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đối xứng trong ngôn ngữ: Phần 2VICác nhómGalois đã làm đảo lộn cả đại số học. Nếu bạn muốn biết mộtphương trình có giải được hay không, bạn đơn giản là hãythử giải nó, đúng thế không? Sai, Galois sẽ nói với bạn như vậy.Tất cả những điều bạn cần làm là kiểm tra những hoán vị của cácnghiệm được giả thiết là tồn tại. Làm thế nào mà những hoán vịcủa các nghiệm mà thậm chí chúng ta còn chưa biết lại có thể nóicho chúng ta về khả năng giải được của nó? Thực tế những hoánvị có thể cung cấp ít nhất là một số thông tin mới đã được thế giớiphi toán học biết tới từ lâu. Ví dụ, phép đảo chữ (anagram) – tứcnhững từ hoặc cụm từ được tạo bởi các chữ cái của một từ hoặc mộtcụm từ khác nhưng theo một trật tự khác - là như thế. Hãy lấy têncủa Galois làm ví dụ. Tên này cho ta các anagram hai từ, đó là cáctổ hợp như OIL GAS, GOAL IS, GO SAIL, vân vân. Vậy chúng tacó thể dựng được bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau (bất kể là có ýnghĩa hay không) của các chữ cái trong cái tên GALOIS? Câu trả lờikhông khó, nhưng chúng ta hãy đầu từ một ví dụ đơn giản hơn đểtìm ra quy luật chung. Các chữ cái A và B cho ta hai cách sắp xếp: AB và BA. Ba chữ cái A, B, C có thể lập nên 6 hoán vị: ABC, ACB,BAC, BCA, CAB, CBA. Hình mẫu xuất hiện thật đơn giản. Với A,B, C, có ba vị trí để đặt chữ A (thứ nhất, thứ hai và thứ ba). Đốivới mỗi vị trí trong ba lựa chọn của A, chỉ còn đúng hai vị trí dànhcho chữ cái B (ví dụ, nếu A ở vị trí thứ hai thì B chỉ có thể ở vị tríthứ nhất hoặc thứ ba) và chỉ còn một vị trí còn lại dành cho C. Dođó, tổng số cách sắp xếp là 3 × 2 × 1 = 6. Với cách suy luận như thếta có thể áp dụng cho một số bất kỳ các đối tượng. Đối với sáu chữcái trong cái tên GALOIS, ta có tổng cộng 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720cách sắp xếp khác nhau, và đối với một số n bất kỳ các đối tượngkhác nhau ta có n × (n - 1) × (n - 2) ×... ×1 hoán vị. Để tiết kiệm chỗ,nhà toán học Pháp Christian Kramp (1760-1826) đã đưa ra ký hiệun! (đọc là n giai thừa) để thay cho tích cuối cùng ở trên. Do đó, sốcác hoán vị của n đối tượng khác nhau đúng bằng n!.Một trong những nghiên cứu sớm nhất về các hoán vị còn ghichép được lại không phải trong một cuốn sách toán, mà là trongmột cuốn sách thần bí của người Do thái, có niên đại đâu đó giữathế kỷ 3 và 6. Sefer yetzira (Sách Sáng thế) là một cuốn sách mỏngbí ẩn cho rằng để giải được bí mật của sáng thế hãy xem xét nhữngtổ hợp của các chữ cái trong bảng chữ cái của tiếng Hebrew. Tiền đềchung của cuốn sách (được truyền thuyết gán cho là của Abraham– tổ tiên của người Do thái) là những tập hợp khác nhau của cácchữ cái tạo nên những viên gạch thần thánh mà từ đó dựng nênvạn vật. Theo tinh thần đó, cuốn sách nói, “Hai chữ cái tạo nên haitừ, ba chữ cái tạo nên 6 từ, bốn tạo nên 24 từ, năm tạo nên 120, sáutạo nên 720, bảy tạo nên 5040”.Để xem làm thế nào có thể phát hiện ra những mối quan hệ giữacác hoán vị khác nhau và các tính chất của chúng có thể dẫn tớiNgôn ngữ của đối xứng| 233cái nhìn mới và sâu hơn, ta hãy xét hoán vị chuyển GALOIS thànhAGLISO. Phép hoán vị này được biểu diễn bởi (theo ký hiệu đãđược đưa vào ở Chương 2):trong đó chữ cái ở hàng trên được thay bằng chữ cái nằm ngaybên dưới nó. Cụ thể, G được thay bằng A, A băng G, L bằng chínhnó, O bằng I, I bằng S và S bằng O.Điều gì sẽ xảy ra nếu áp dụng phép hoán vị này hai lần? Bạn cóthể dễ dàng kiểm tra rằng bằng cách dùng đúng những thay thếtrên một lần nữa thì AGLISO sẽ biến thành GALSOI. Bây giờ hãyhình dung rằng xuất phát từ cái tên GALOIS, máy tính sẽ thực hiệnlặp phép hoán vị đó, chẳng hạn, 1327 lần. Liệu chúng ta có thể tiênđoán được kết cục cuối cùng không? Tất nhiên, ta có thể tìm đượckết quả một cách rất vất vả, bằng cách áp dụng lần lượt phép hoánvị đó 1327 lần, nhưng đó là một công việc cực nhọc và rất dễ nhầmlẫn. Vậy liệu có cách nào dễ hơn để tìm ra đáp số không? Bạn nêndành ra ít phút để suy nghĩ về bài toán này, vì giải mã được nó sẽhé lộ cho bạn thấy những tính chất thú vị của các hoán vị này theođúng tinh thần trong chứng minh của Galois. Dù sao thì tôi cũngsẽ giới thiệu lời giải ngay dưới đây.Về khía cạnh giải trí toán học thì phép hoán vị và các đặc tínhcủa nó đóng vai trò nổi bật ít nhất là trong hai câu đố nổi tiếng: câuđố 14-15 và khối vuông Rubik.Câu đố 14-15 đã được nhà soạn câu đố vĩ đại nhất của Mỹ, SamuelLoyd (1841-1911), đưa ra trong những năm 1870 và trong một thờigian nó đã làm cho cả thế giới phát điên lên. Vào thời gian đó, Loydđã là nhà biên soạn hàng đầu những bài toán về bàn cờ ở Mỹ, đồng234 | M A R I O L I V I O(a)(b)(c)Hình 74thời ông cũng phụ trách chuyên mục cờ vua trên một số tờ báo.Tuy nhiên, ngay cả trước khi có câu đố 14-15 nổi tiếng, Loyd đãcho công bố một số lượng rất phong phú các loại câu đố toán học.Câu đố 14-15 gồm một lưới hình vuông 4 × 4 viên gạch lát đượcđánh số từ 1 đến 15 (hình 74a). Mục tiêu chung ở câu đố này là trượtcác viên gạch này lên, xuống hoặc sang hai bên để xếp lại chúngtheo trật tự, bắt đầu từ một cấu hình ban đầu bất kỳ. Một phiên bảnđặc biệt của câu đố này – phiên bản đã gây ra mọi sự náo loạn – làphiên bản trong đó tất cả các số đã xếp đúng thứ tự chỉ trừ có haiviên gạch 14 và 15 là đảo chỗ cho nhau (như trên hình 74b). Loydđã treo giải thưởng một ngàn đôla cho người đầu tiên đưa ra đượcdãy các phép trượt dẫn tới sự đổi chỗ chỉ của hai viên gạch 14 và15. Câu đố đã tạo ra cơn mê cuồng và những người mê mẩn nóchưa từng có ở mọi tầng lớp xã hội. Con trai của Loyd, người saunày đã công bố một tuyển tập đầy quyến rũ các câu đố làm điênđầu của cha mình (có nhan đề Cyclopedia of Puzzles), trong mô tảvề sự mê cuồng chung đã viết rằng “được biết có những nông phuđã bỏ hoang cả những mảnh ruộng đã cày của mình để vật lộn vớicâu đố bướng bỉnh này”. Thực tế, Loyd đã thừa biết rằng ông chẳngcó gì là mạo hiểm khi treo giải thưởng đó, vì ông đã chứng minhNgôn ngữ của đối xứng| 235được rằng câu đố đó không thể giải được. Để hiểu được đi ...