Dồn biến cổ điển và bất đẳng thức

Đây là tài liệu phương pháp chứng minh dồn biến cổ điển và bất đẳng thức với hướng dẫn chứng minh bất đẳng thức cụ thể, chi tiết , có bài toán và bài giải minh hoạ giúp các bạn học tốt môn Toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dồn biến cổ điển và bất đẳng thứcD n bi n c đi n và b t đ ng th c Jack Garfunkel Võ Qu c Bá C n Đ i h c Y Dư c C n Thơ Ngày 9 tháng 5 năm 2008 H Tóm t t n i dung Trong bài này, chúng ta s gi i thi u m t cách ch ng minh b ng phép d n bi n c đi n cho b t đ ng th c sau 5p a b c p +p +p a+b+c 4 c+a a+b b+cCY B t đ ng th c này đư c tác gi Jack Garfunkel đ ngh trên t p chí Crux Magazine năm 1991 (bài toán 1490). Đây là m t bài toán hay và khó m c dù hi n nay đã nh n đư c nhi u l i gi i cho nó nhưng m t l i gi i b ng phép d n bi n thu n túy thì đ n nay v n chưa nh n đư c.Trư c h t chúng ta c n có k t qu sau làm b đ ph tr cho ch ng minh b t đ ngth c Jack GarfunkelBài toán 1 Cho các s không âm a; b; c; t t c không đ ng th i b ng 0: Ch ng minhr ng a b c 1 + + : 4a + 4b + c 4b + 4c + a 4c + 4a + b 3 (Ph m Kim Hùng)L i gi i. Chu n hóa cho a + b + c = 3; khi đó b t đ ng th c tr thành a b c + + 1 3 c 3 a 3 b , a(3 a)(3 b) + b(3 b)(3 c) + c(3 c)(3 a) (3 a)(3 b)(3 c) 2 2 2 , a b + b c + c a + abc 4Không m t tính t ng quát, gi s b là s h ng n m gi a a và c; th thì ta có c(b a)(b c) 0 1Copyright by Võ Quốc Bá Cẩn ) b2 c + c2 a abc + bc2 1 ) a2 b + b2 c + c2 a + abc b(a + c)2 = 2b (a + c) (a + c) 2 3 1 2b + a + c + a + c = 4: 2 27B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = cho c (a; b; c) (2; 1; 0):Nh n xét 1 Đây là m t b đ khá ch t và có th đư c dùng đ gi i nhi u bài toánkhác, các b n hãy ghi nh nó nhé! Ngoài ra, chúng ta có th làm m nh b đ như sau 1 a2 b + b2 c + c2 a + abc + abc(3 ab bc ca) 4 H 2 (Võ Qu c Bá C n)Bây gi chúng ta s đi đ n gi i quy t bài toán chínhCYBài toán 2 Cho các s không âm a; b; c, không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ngminh r ng 5p a b c p +p +p a + b + c: 4 c+a a+b b+c (Jack Garfunkel)L i gi i. Ta xét 2 trư ng h pTrư ng h p 1. c b a; khi đó s d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có 2 a b c a b c p +p +p (a + b + c) + + a+b b+c c+a c+a a+b b+cL i có do c b a nên a b c 31abbcca + + = + + + a+b b+c c+a 2 2 a+b b+c c+a 3 (c a)(c b)(b a) 3 25 = < 2 (a + b)(b + c)(c + a) 2 16Nên hi n nhiên 5p a b c ...