Động học chất lưu

HẠT CHẤT LƯU Trong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng, dưới tên gọi khác đi là hạt chất lưu. Cũng như chất điểm hay điện tích điểm, hạt chất lưu phải có kích thước rất nhỏ so với các khoảng cách đặc trưng của bài toán đang xét, nhưng không nhỏ đến mức độ nguyên tử, phân tử. Mỗi hạt chất lưu phải chứa một số lớn các nguyên tử, phân tử vật chất, để cho chất lưu vẫn có thể coi như một môi trường liên tục. Chẳng hạn, khi xét dòng nước...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Động học chất lưu Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 1Động học chất lưuĐỘNG HỌC CHẤT LƯUBiên soạn: Lê Quang Nguyên1. HẠT CHẤT LƯUTrong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng,dưới tên gọi khác đi là hạt chất lưu. Cũng như chất điểm hayđiện tích điểm, hạt chất lưu phải có kích thước rất nhỏ so vớicác khoảng cách đặc trưng của bài toán đang xét, nhưng khôngnhỏ đến mức độ nguyên tử, phân tử. Mỗi hạt chất lưu phảichứa một số lớn các nguyên tử, phân tử vật chất, để cho chấtlưu vẫn có thể coi như một môi trường liên tục.Chẳng hạn, khi xét dòng nước chảy trong một ống nước thìkích thước của hạt chất lưu phải nhỏ hơn nhiều so với đườngkính của ống nước, nhưng lại lớn hơn nhiều so với khoảngcách trung bình giữa các phân tử nước. Nếu đường kính ốngnước là cỡ 10-1 m, và biết rằng khoảng cách trung bình giữacác phân tử nước là 10-10 m, người ta có thể chọn hạt chất lưucó kích thước khoảng 10-6 m. Một hạt nước như thế vẫn cònchứa đến 1010 phân tử nước!Để mô tả chuyển động của các hạt chất lưu trong một dòngchảy, người ta có thể chọn khảo sát quỹ đạo của từng hạt chấtlưu một (phương pháp Lagrange) hay dùng khái niệm trườngvận tốc (phương pháp Euler).2. PHƯƠNG PHÁP LAGRANGENhư đã nói ở trên, cách mô tả Lagrange đòi hỏi phải biết quỹđạo của các hạt chất lưu, đó cũng chính là cách mô tả quen thuộc trong cơ học, dựa vào các vectơ vị trí r (t ) , vận tốc   v ( r (t ), t ) và gia tốc a (r (t ), t ) của từng hạt.Nói một cách hình tượng, thì phương pháp Lagrange tươngđương với việc đánh dấu các hạt chất lưu trong một dòng chảy,bằng cách nhuộm màu chúng chẳng hạn, rồi chụp ảnh dòngchảy với thời gian mở ống kính thật dài để có thể thấy đượcđường đi của các hạt đánh dấu. Hình 2.1 cho thấy một ảnhchụp như thế của một dòng chảy quanh một ống trụ.Do số lượng hạt quá lớn nên phương pháp Lagrange gặp nhiềutrở ngại trong các tính toán thực tế. Trong các ứng dụng người Hình 2.1ta hầu như chỉ dùng cách mô tả dòng chảy bằng trường vận tốcdo Euler đề ra.3. PHƯƠNG PHÁP EULERChúng ta hẳn đã rất quen thuộc với cách mô tả tính chất điệnvà từ của một môi trường bằng các khái niệm điện trường và từtrường. Theo đó các vectơ điện trường và từ trường được xácđịnh tại mọi điểm của không gian cần khảo sát. Đối với điện  trường và từ trường tĩnh thì E và B chỉ là các hàm của vị trí,còn khi điện từ trường biến thiên thì chúng là hàm của cả vị trílẫn thời gian.3.1 TRƯỜNG VẬN TỐCTheo phương pháp Euler người ta cũng làm tương tự như vậyđối với dòng chảy. Vận tốc tức thời của dòng chảy tại các điểm Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2Động học chất lưu khác nhau trong dòng chảy, tức là biểu thức v (r , t ) , phải đượcxác định. Như vậy dòng chảy tương ứng với một trường vận tốc. Lưu ý là ở đây r là vị trí của các điểm trong dòng chảy, chứ không phải là vị trí của các hạt chất lưu, vì thế r và t làcác biến số độc lập. Một cách hình tượng thì cách mô tả Eulertương ứng với việc chụp hình nhanh dòng chảy ở các thời điểmkhác nhau.Hình 3.1.1 cho ta thấy một ví dụ về trường vận tốc; đó là kếtquả mô phỏng trên máy tính cho trường vận tốc tại tâm mộtcơn lốc.3.2 ĐƯỜNG DÒNGĐể mô tả điện từ trường người ta thường dùng các đường sức, Hình 3.1.1. Trường vận tốc tại tâm lốc xoáy.là các đường tiếp tuyến tại mọi điểm với vectơ điện trường haytừ trường. Tương tự như vậy người ta dùng khái niệm đườngdòng để mô tả trường vận tốc của một dòng chảy: đường dònglà đường sức của trường vận tốc.Nói chung thì đường dòng không trùng với quỹ đạo, chúng chỉtrùng nhau khi trường vận tốc là dừng (không thay đổi theothời gian, vận tốc tại mỗi điểm luôn có một giá trị duy nhất).3.3 GIA TỐC CỦA HẠT CHẤT LƯUTheo cách mô tả Euler, mặc dù không dùng biểu thức tườngminh của vận tốc hạt, người ta vẫn có thể xác định được gia tốchạt chất lưu. Thật vậy, xét một hạt chất lưu ở vị trí r vào thời điểm t, tới lúc  t+dt thì hạt di chuyển tới vị trí r  dr . Vậy vận tốc của hạt lúc   t và t+dt là v (r , t ) và v ( r  dr , t  dt ) . Độ biến thiên vận tốccủa hạt sẽ là:        vdv  v (r  dr , t  dt )  v ( r , t )  dt  ( dr .)v (3.3.1) tChia biểu thức trên cho dt ta thu được gia tốc của hạt chất lưu:  v   a  (v .)v (3.3.2) tVề mặt hình thức, biểu thức trên cũng giống như đạo hàm toànphần của vận tốc theo thời gian, nếu coi vị trí là hàm của thờigian. Nhưng sự thật là chúng ta đã không lấy đạo hàm toànphần của vận tốc, vì vị trí ở đây không phụ thuộc vào thời gian.Để chỉ rõ rằng đấy không phải là đạo hàm toàn phần theo thờigian, một số tác giả đã dùng khái niệm đạo hàm theo hạt, địnhnghĩa như sau: D (3.3.3)   (v .)Dt tNhư vậ ...