Giải bài tập Đại số tuyến tính

Tài liệu hướng dẫn các bạn sinh viên ôn thi môn Đại số tuyến tính bao gồm nội dung kiếm tra đánh giá, cấu trúc đề thi và điều kiện dự thi. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung kiến thức, từ đó có phương pháp luyện thi hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải bài tập Đại số tuyến tính HƯỚNG DẪN ÔN THI MÔN HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I. NỘI DUNG KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ 1. Mục tiêu Mục tiêu của kỳ thi kết thúc môn học là kiểm tra đánh giá việc tiếp thu những khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính, năng lực tư duy phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức thể hiện qua việc trình bày logic chặt chẽ và chính xác các vấn đề liên quan bằng ngôn ngữ của môn học. 2. Nội dung kiểm tra đánh giá Toàn bộ nội dung đã giảng dạy của môn học, bao gồm hai phần lý thuyết và bài T tập. Trọng tâm là các kiến thức về không gian véc tơ, không gian con, hạng của hệ véc tơ, hạng ma trận, chiều của không gian véc tơ, cấu trúc nghiệm của hệ .NE phương đại số tuyến tính cũng như cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính và cách tính định thức; không gian Euclid, hệ véc tơ trực giao, phương pháp trực giao hóa, dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. II. CẤU TRÚC ĐỀ THI VÀ ĐIỀU KIỆN DỰ THI THS Đề thi sẽ gồm có 2 câu hỏi lý thuyết và 3 câu hỏi bài tập. Với tỷ trọng: 4 điểm cho phần lý thuyết và 6 điểm cho phần bài tập. Thang điểm sẽ được tính từ mức ¼ điểm cho mỗi bước suy luận logic cơ bản. Vì vậy khi trình bày bài làm người làm bài cần trình bày lập luận khúc chiết đầy đủ. A Người dự thi sẽ phải chấp hành nghiêm túc các quy định, quy chế về các kỳ thi hết môn học của Nhà trường, ĐHQGHN và Bộ GD&ĐT. Đặc biệt lưu ý Không được TM sử dụng tài liệu, máy tính và điện thoại di động. VIE Bài tập chương Kiến thức chuẩn bị 1. Chứng minh công thức De Morgan dạng tổng quát a. A \ ∪i∈I Ai = ∩i∈I (A \ Ai) Theo định nghĩa hai tập hợp bằng nhau, để chứng minh X = Y, ta phải chứng minh: X ⊂ Y và Y ⊂ X. Nghĩa là: ∀x ∈ X → x ∈ Y và ngược lại ∀y ∈ Y → y ∈ X. () ∀ x ∈ A \ ∪i∈I Ai → x ∈ A và x ∉ ∪i∈I Ai → x ∈ A và x ∉ Ai ∀i ∈ I → x ∈ A \ Ai ∀i ∈ I → x ∈ ∩i∈I (A\Ai) . Vậy A \ ∪i∈I Ai ⊂ ∩i∈I (A \ Ai). (1) () ∀ x ∈ ∩i∈I (A \ Ai) → x ∈ A \ Ai ∀i ∈ I → x ∈ A và x ∉ Ai ∀i ∈ I → x ∈ A và x ∉ ∪i∈I Ai → ∀ x ∈ A \ ∪i∈I Ai . Vậy ∩i∈I (A \ Ai) ⊂ A \ ∪i∈I Ai . (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. b. A \ ∩i∈I Ai = ∪i∈I (A \ Ai) () ∀ x ∈ A \ ∩i∈I Ai → x ∈ A và x ∉ ∩i∈I Ai → x ∈ A và ∃ j ∈ I : x ∉ Aj → ∃ j ∈ I : x ∈ A \ Aj → x ∈ ∪i∈I (A\Ai) . Vậy A \ ∩i∈I Ai ⊂ ∪i∈I (A\Ai). (1) () ∀ x ∈ ∪i∈I (A\Ai) → ∃ j ∈ I : x ∈ A \ Aj → x ∈ A và ∃ j ∈ I : x ∉ Aj → x∈A và x ∉ ∩i∈I Ai → x ∈ A \ ∩i∈I Ai . Vậy ∪i∈I (A\Ai) ⊂ A \ ∩i∈I Ai . (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 2. Chứng minh các mệnh đề tập hợp a. (A \ B) ∪ (B \ A) = Ø  A = B (A \ B) ∪ (B \ A) = Ø → A \ B = ∅ và B \ A = ∅ → A ⊂ B và B ⊂ A → A = B Ngược lại, nếu A = B → A \ B = ∅ và B \ A = ∅ → (A \ B) ∪ (B \ A) = Ø. b. A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) (A \ B) ∪ (A ∩ B) = ( A \ (A ∩ B) ) ∪ (A ∩ B) = A. c. (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) De Morgan (A \ B) ∪ (B \ A) = ((A ∪ B) \ B) ∪ ((B ∪ A) \ A)) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) d. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C) De Morgan (A ∩ B) \ (A ∩ C) = ((A ∩ B) \ A) ∪ ((A ∩ B) \ C) = Ø ∪ ((A ∩ B) \ C) = (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) . e. A ∪ (B \ A) = A ∪ B 1 x ∈A ∪ (B \ A) ↔ x ∈A hoặc (x ∈ B và x ∉ A) ↔ x ∈ A hoặc x ∈ B ↔ x ∈ A∪B . f. A \ (A \ B) = A ∩ B x ∈ A \ (A \ B) ↔ x ∈ A và x ∉ (A \ B) ↔ x ∈ A và x ∈ B ↔ x ∈ A ∩ B . 3. Chứng minh a. (A x B) ∩ (B x A) ≠ Ø ↔ A ∩ B ≠ Ø (A x B) ∩ (B x A) ≠ Ø ↔ ∃ x ∈ A, ∃ y ∈ B: (x, y) ∈ A x B và (x, y) ∈ B x A. (x, y) ∈ B x A → x ∈ B, y ∈ A → x ∈ A ∩ B , y ∈ A ∩ B hay A ∩ B ≠ ∅. b. (A x C) ∩ (B x D) = (A ∩ B) x (C ∩ D) (x, y) ∈ (A x C) ∩ (B x D) ↔ x ∈ A và x ∈ B đồng thời y ∈ C và y ∈ D ↔ x ∈(A ∩ B) , y ∈(C ∩ D) hay (x, y) ∈(A ∩ B) x (C ∩ D) đpcm. T .NE 4. Với ánh xạ f : X → Y và A, B ⊂ X. Chứng minh : a. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) y ∈ f (A ∪ B) → ∃ x ∈ (A ∪ B) : f (x) = y . Mà x ∈ (A ∪ B) → x ∈ A hoặc x ∈ B kéo theo f (x) ∈ f (A) hoặc f (x) ∈ f (B) hay y ∈ f (A) ∪ f (B) . Cm tương tự cho chiều THS ngược lại. b. f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) y ∈ f (A ∩ B) → ∃ x ∈ (A ∩ B) : f (x) = y . Mà x ∈ (A ∩ B) → x ∈ A và x ∈ B kéo theo f (x) ∈ f (A) và f (x) ∈ f (B) hay y ∈ f (A) ∩ f (B) . Cm tương tự cho chiều ngược lại. A c. f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B) TM y ∈ f (A \ B) → ∃ x ∈ (A \ B) : f (x) = y . Mà x ∈ (A \ B) → x ∈ A và x ∉ B kéo theo f (x) ∈ f (A) và f (x) ∉ f (B) hay y ∈ f ( ...