Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kuta 4

Đây là báo cáo bài tập lớn bộ môn phương pháp tính khoa điện - điện tử nghiên cứu về đề tài " giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kuta 4 gửi đến các bạn độc giả tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kuta 4 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA *** KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ Giáo viên hướng dẫn: Lê Thị Quỳnh Hà Các thành viên trong nhóm: 40901457: Nguyễn Phước Lộc 40902767: Võ Nhựt Tiến 40902741: Cù Văn Tiến 40903057: Huỳnh Trung Trực 40902907: Nguyễn Kim Triển 40902935: Phan Đức Trí Đề tài: Viết chương trình giải phương trình bằng phương pháp Runge-Kutta bậc 4. Vẽ đồ thị hàm nhận được. CÔ SÔÛ LYÙ THUYEÁT BAØI TOAÙN CAUCHY M t ph ng trình vi phân c p 1 có th vi t d i d ng gi i c yf (x,y) mà ta có th tìm c hàm y t o hàm c a nó. T n t i vô s nghi m tho mãn ph ng trình trên. M i nghi m ph thu c vào m t h ng s tu ý. Khi cho tr c giá tr ban u c a y là yo t i giá tr u xo ta nh n c m t nghi m riêng c a ph ng trình. Bài toán Cauchy (hay bài toán có i u ki n u) tóm l i nh sau: cho x sao cho b x a, tìm y(x) tho mãn i u ki n: y ( x) f ( x , y ) (1) y(a ) Ng i ta ch ng minh r ng bài toán này có m t nghi m duy nh t n u f tho mãn i u ki n Lipschitz: f( x , y 1 ) f( x , y 2 ) L y 1 y 2 v i L là m t h ng s d ng. Ng i ta c ng ch ng minh r ng n u f y ( o hàm c a f theo y ) là liên t c và b ch n thì f tho mãn i u ki n Lipschitz. M t cách t ng quát h n, ng i ta nh ngh a h ph ng trình b c 1: y 1 f1 ( x , y 1 , y 2 ,..., y n ) y2 f2 ( x , y 1 , y 2 ,..., y n ) yn fn ( x , y 1 , y 2 ,..., y n ) Ta ph i tìm nghi m y1, y2,..., yn sao cho: Y ( x) f ( x , X ) Y(a ) v i: y1 f1 y1 y2 f2 y2 F Y Y .. .. .. .. .. .. fn yn yn N u ph ng trình vi phân có b c cao h n (n), nghi m s ph thu c vào n h ng s tu ý. nh n c m t nghi m riêng, ta ph i cho n i u ki n u. Bài toán s có giá tr u n u v i giá tr xo ã cho ta cho y(xo), y (xo), y (xo),.... M t ph ng trình vi phân b c n có th a v thành m t h ph ng trình vi phân c p 1. Ví d n u ta có ph ng trình vi phân c p 2: y f( x , y , y ) y(a ) , y (a ) t u = y và v = y ta nh n c h ph ng trình vi phân c p 1: Khi uv v g( x , u , v ) v i i u ki n u: u(a) = và v(a) = Các ph ng pháp gi i ph ng trình vi phân c trình bày trong ch ng này là các ph ng pháp r i r c: o n [a, b] c chia thành n o n nh b ng nhau c g i là các b c tích phân h = ( b a) / n. §2. PH NG PHÁP EULER PHÖÔNG PHAÙP RUNGE KUTTA ch a chính xác i v i các bài toán th c t . Xét bài toán Cauchy (1). Gi s ta ã tìm c giá tr g n úng yi c a y(xi) và mu n tính yi+1 c a y(xi+1). Tr c h t ta vi t công th c Taylor: h2 h m (m) h m 1 ( m 1) y( x i 1 ) y( x i ) hy ( x i ) y (x i ) y (x i ) y (c) (11) 2 m! m! v i c (xi, xi+1) và: y ( x i ) f x i , y( x i ) dk 1 ( k) y (xi ) f x i , y(x i ) dx k 1 Ta vi t l i (11) d i d ng: h2 h m (m) h m 1 ( m 1) y i 1 y i hy ( x i ) y (x i ) y (x i ) y ( c) (12) 2 m! m! Ta ã kéo dài khai tri n Taylor k t qu chính xác h n. tính y i, y i v.v. ta có th dùng ph ng pháp Runge Kutta b ng cách t: y i 1 y i r1 k (1i ) r2 k (2i ) r3 k (3i ) r4 k (4i ) (13) trong ó: k (1i ) hf( x i , y i ) k (2i ) k (1i ) ) hf( x i ah , y i (14) k (3i ) k (1i ) k (2i ) ) hf( x i bh , y i ....... và ta c n xác nh các h s a, b,..; , , ,...; r1, r2,.. sao cho v ph i c a (13) khác v i v ph i c a (12) m t vô cùng bé c p cao nh t có th có i v i h. Khi dùng công th c Runge Kutta b c hai ta có: k (1i ) hf( x i , y i ) (15) k (2i ) hf( x i ah , y i k (1i ) ) y i 1 y i r1 k 1i ) r2 k (2i ) ( và (16) Ta có: y (x) = f[x,y(x)] y ( x) fx x , y( x) fy x , y( x) ................ Do ó v ph i c a (12) là: h2 hf( x i , y i ) fx (x i , y i ) fy ( x i , y i ) y ( x) (17) 2 M t khác theo (15) và theo công th c Taylor ta có: k 1i ) ( hf ( x i , y i ) hy i k (2i ) k (1i ) fy ( x i , y i ) h[f( x i , y i ) ahfx ( x i , y i ) ] Do ó v ph i c a (16) là: h(r1 r2 )f( x i , y i ) h 2 [ar2 fx ( x i , y i ) r2 y i fy ( x i , y i )] (18) Bây gi cho (17) ...