Giải tích 2 – Đề số 14

Giải tích 2 - Đề số 14 gồm các dạng bài tập được trình bài một cách dễ hiểu thông qua các bài giải kèm theo, giúp các bạn ôn tập và chuẩn bị tốt hơn cho các kì thi, kiểm tra toán giải tích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích 2 – Đề số 14 Giải tích 2 – Đề số 14Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi y  4  x 2 , y  1  x 2 , z  0, z  2 x . Các em tự vẽ.Câu 2: Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m 2 bìacarton. Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp nàyBài giảiGọi x là chiều rộng, y là chiều dài, z là chiều cao (m).Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz x, y, z  0Ta cần tìm MaxV:Cách 1: Xét hàm L  x, y, z   xyz    2 xz  2 yz  xy   Lx  yz    2 z  y   0  x  2z   1 / 2  Ly  xz    2 z  x   0      y  2z  x  y  2  Lx  xy    2 x  2 y   0  2 xz  2 yz  xy  12  z  1      2 xz  2 yz  xy   12Hàm có 1 Điểm dừng P(2,2,1). Tính các đạo hàm riêng cấp 2 tại P ta có:  d 2 L  P   dxdy  2dxdz  2dydzLấy vi phân 2 vế của 2xz+2yz+xy=12 tại P suy ra: dx+dy+2dz=0  d 2 L  P    dx 2  dy 2  dxdy xác định âmVậy P là điểm cực đạiVà vì V liên tục trong góc phần tám thứ nhất và có duy nhất 1 điểm cực đại (P)nên đạt giá trị lớn nhất tại P: MaxV=V(P)=4 12  xy xy 12  xy Cách 2: Thế z  vào biểu thức của V: V  , x, y  R  2 x  y 2 x  y 1 xy 2 V  2 xy 12  xy  2 2 x yÁp dụng côsi cho 2 số (x,y) và 3 sô (2xy,(12-xy), (12-xy)) ta được: 3 1 xy 2 1 xy 2 xy  2(12  xy ) V  2 xy 12  xy   4 2 2 x y 2 2 2 xy 3 x  yDấu “=” xảy ra khi   x  y  2  z 1 2 xy  12  xyVậy Max V =4 đạt tại (2,2,1)Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1. Nhưng cácem nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min. Yêu cầu phải biết vận dụng kiếnthức đã học vào những bài toán thực tế. Bài này điển hình cho bài tìm max-mincho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay.  1Câu 3: Tính tổng S   n 1 n( n  1)( n  2)Bài giải 1 11 2 1       n(n  1)(n  2) 2  n n  1 n  2   1 1 1 1 1Vậy S    (  ) n 1 n ( n  1)( n  2) 2 1 2 4 x dtCâu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của f ( x)   và tìm miền hội tụ của chuỗi này 0 1 t4Bài giảiTa có : 1 1 1 1 1  (  )(   1)(  2).....(  n) 1 4 2  1  t   1  2 2 2 2 (t 4 ) n 1 1 t 4 n 0 (n  1)! (1) n 1 (2n  1)!! 4 n 1   (2n  1)!! 4 n  4  1  ( t )  1   n 1 t n 0 2n 1 (n  1)! n 0 2 (n  1)!Vậy: x x dt  (2n  1)!! t 4 n 5  (2n  1)!! x 4 n 5 f ( x)    [ t   n 1 ]  x   n 1 0 1 t 4 n 0 2 (n  1)! 4n  5 0 n 0 2 (n  1)! 4n  5  (2n  1)!! x 4 n f  x   x  x5  n 1 n 0 2 (n  1)! 4n  5   lim an 1  lim  2n  3 4n  5  1 n  a n  2  n  2  4n  9  n 1 R ...