Giải tích đa trị P2

Giải tích đa trị P2Giải tích (tiếng Anh: mathematical analysis) là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay.Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích đa trị P21.3. §Þnh lý Kakutani 35víi mäi y ∈ K. V× p, y − x ¯ 0 ∀y ∈ Knªn ta cã(3.7) −p ∈ (TK (¯))∗ = NK (¯). x xV× K lµ miÒn v÷ng cña F , nªn tån t¹i v ∈ F (¯) ∩ TK (¯). x xDo ®ã, l−u ý ®Õn (3.7) ta cã(3.8) CF (p, x) ¯ p, v 0.§Æt I(¯) = {i ∈ {1, . . . , s} : ψi (¯) > 0}. x x sV× ψi (¯) = 1 vµ ψi (¯) x x 0 víi mäi i, nªn I(¯) = ∅. Víi mçi i ∈ I(¯), do x x i=1ψi (¯) > 0 nªn x x ∈ supp ψi ⊂ Upj(i) . ¯Tõ ®ã suy ra s CF (p, x) = sup ¯ i=1 ψi (¯)pj(i) , y x : y ∈ F (¯) x i∈I(¯) ψi (¯)CF (pj(i) , x) x x ¯ < 0.§iÒu nµy m©u thuÉn víi (3.8). §Þnh lý ®· ®−îc chøng minh. 2NhËn xÐt 1.3.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr. 84). §Þnh lý 1.3.3 vÉn®óng khi X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«, låi ®Þa ph−¬ng, Hausdorff. §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Kakutani: §Þnh lý sau lµ d¹ng më réng cña ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Kakutani (xem §Þnhlý 1.3.5 d−íi ®©y) tõ tr−êng hîp c¸c kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu sang tr−êng hîpkh«ng gian v« h¹n chiÒu.§Þnh lý 1.3.4 (§Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Ky Fan, 1972). Cho K lµ tËp låi, comp¾c,kh¸c rçng trong kh«ng gian Banach X. Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmiliªn tôc trªn ë trong K, cã gi¸ trÞ låi, ®ãng, kh¸c rçng. Khi ®ã, tån t¹i x ∈ K ¯sao cho x ∈ G(¯). ¯ xChøng minh. §Æt F (x) = G(x) − x. Tõ c¸c gi¶ thiÕt ®Æt trªn G suy ra r»ngF : K ⇒ X lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trªn, cã gi¸ trÞ låi, ®ãng, kh¸c rçng.Ngoµi ra, ta cã(3.9) F (x) = G(x) − x ⊂ K − x ⊂ TK (x)36 1. TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞvíi mäi x ∈ K. V× F (x) = ∅ víi mäi x ∈ K, nªn tõ (3.9) suy ra tËp låi K lµmiÒn v÷ng cña F . Theo §Þnh lý 1.3.3, tån t¹i x ∈ K sao cho 0 ∈ F (¯). Tøc lµ ¯ xtån t¹i x ∈ K sao cho x ∈ G(¯). 2 ¯ ¯ x KÕt qu¶ sau ®©y suy ra trùc tiÕp tõ §Þnh lý 1.3.4 vµ MÖnh ®Ò 1.3.1.§Þnh lý 1.3.5 (§Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Kakutani, 1941). Cho K ⊂ I n lµ tËp låi, Rcomp¾c, kh¸c rçng. Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë trongK, cã gi¸ trÞ låi, ®ãng, kh¸c rçng. Khi ®ã, tån t¹i x ∈ K sao cho x ∈ G(¯). ¯ ¯ x Bµi tËp 1.3.1. §Æt K = [0, 1] ⊂ I H·y x©y dùng c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ R. G : K ⇒ K thÝch hîp ®Ó chøng tá r»ng nÕu trong khi ph¸t biÓu §Þnh lý 1.3.5 ta bá ®i mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn ba ®iÒu kiÖn cßn l¹i), th× kÕt luËn cña ®Þnh lý kh«ng cßn ®óng n÷a: (i) G lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn ë trong K; (ii) G cã gi¸ trÞ låi; (iii) G cã gi¸ trÞ ®ãng; (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng. (Gîi ý: XÐt c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ 1 {1} nÕu 0 x 2 G1 (x) = {0} nÕu 1 < x 2 1, ⎧ ⎨ {x + 1 } nÕu 0 x < 1 2 2 G2 (x) = {0, 1} nÕu x = 1 2 ⎩ {x − 1 } nÕu 1 < x 1, 2 2 (x, 1) nÕu 0 x < 1 G3 (x) = (0, 1) nÕu x = 1, ⎧ 1 ⎨ [ 2 , 1] nÕu x = 0 G4 (x) = ∅ nÕu 0 < x < 1 ⎩ ...