Giải tích đa trị P3

Giải tích đa trị P3Giải tích (tiếng Anh: mathematical analysis) là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay.Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích đa trị P32.3. §¹o hµm 75 Bµi tËp 2.3.3. (a) Ph¸t biÓu §Þnh lý 2.3.2 cho tr−êng hîp F = f lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ kh¶ vi FrÐchet liªn tôc trong mét l©n cËn cña ®iÓm x ∈ X. ¯ (b) Cho X = Y = I F (x) = {f (x)}, f (x) = x4 . H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng R, ®iÓm x ∈ I sao cho §Þnh lý 2.3.2 ¸p dông ®−îc víi z := (¯, f (¯)). ¯ R ¯ x x Nh÷ng quy t¾c tÝnh (nãi ®óng h¬n lµ c¸c −íc l−îng) ®¹o hµm cña hµm hîpsau ®©y cho thÊy mçi lo¹i ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ xÐt trong môc nµy ®Òu cãvai trß riªng: ®¹o hµm Clarke tham gia trong ®iÒu kiÖn chÝnh quy, ®¹o hµm kÒtham gia trong c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm contingent cña hµm hîp22 .§Þnh lý 2.3.3 (§¹o hµm cña hµm hîp; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr.198-199). Gi¶ sö X, Z lµ c¸c kh«ng gian Banach, Y lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈnh÷u h¹n chiÒu, F : X ⇒ Y, G : Y ⇒ Z, y ∈ F (¯), z ∈ G(¯). Gi¶ sö F vµ G ¯ x ¯ ylµ c¸c ¸nh x¹ ®ãng. NÕu ®iÒu kiÖn sau tháa m·n rge CF(¯,¯) − dom CG(¯,¯) = Y xy yzth× (i) Db G(¯,¯) ◦ DF(¯,¯) ⊂ D(G ◦ F )(¯,¯) ; yx xy xz (ii) Db G(¯,¯) ◦ DF(¯,¯) ⊂ Db (G ◦ F )(¯,¯) ; yx b xy xz (iii) CG(¯,¯) ◦ CF(¯,¯) ⊂ C(G ◦ F )(¯,¯) . yx xy xz Bµi tËp 2.3.4. ¸p dông §Þnh lý 2.3.3 cho tr−êng hîp X = Y = Z = I R, F (x) = { |x|}, G(y) = {z : z y 3 }, vµ x = y = z = 0. Trong tr−êng ¯ ¯ ¯ hîp nµy, c¸c bao hµm thøc trong c¸c kh¼ng ®Þnh (i)–(iii) cã trë thµnh c¸c ®¼ng thøc hay kh«ng? 22 Kh«ng râ lµ quy t¾c (i) trong §Þnh lý 2.3.3 cã cßn ®óng kh«ng nÕu nh− ¸nh x¹ D b G(y ,¯) ë ¯xvÕ tr¸i cña bao hµm thøc ®−îc thay b»ng ¸nh x¹ DG(y ,¯) - lµ ¸nh x¹ cã ®å thÞ lín h¬n. ¯x76 2. §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞCh−¬ng 3TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ Hái tªn, r»ng “BiÓn-D©u-Ngµn” Hái quª, r»ng “Xø M¬ Mµng”, ®· quªn (Bïi Gi¸ng)Ch−¬ng nµy tr×nh bµy kh¸i niÖm tÝch ph©n Aumann (tÝch ph©n ®a trÞ). V× l¸tc¾t ®o ®−îc lµ c¬ së ®Ó x©y dùng tÝch ph©n Aumann, nªn chóng ta sÏ t×m hiÓukü c¸c ®Þnh lý vÒ sù tån t¹i l¸t c¾t ®o ®−îc cña ¸nh x¹ ®a trÞ. Ngoµi ra, trongch−¬ng cã giíi thiÖu c¸c kÕt qu¶ cña NguyÔn Huy Chiªu (2004, 2006a) vÒ tÝchph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke. C¸c kÕt qu¶ trong Chieu (2006c)vÒ tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©nMordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n sÏ ®−îc giíi thiÖu trong môc cuèi cñach−¬ng sau. C¸c ®Þnh lý vÒ l¸t c¾t ®o ®−îc vµ tÝch ph©n Aumann cã vai trß quan trängtrong lý thuyÕt bao hµm thøc vi ph©n (ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®a trÞ). B¹n ®äccã quan t©m cã thÓ ®äc vÒ bao hµm thøc vi ph©n trong Aubin vµ Frankowska(1990), Aubin vµ Cellina (1984). øng dông cña bao hµm thøc vi ph©n trong c¸cvÊn ®Ò vÒ ®iÒu khiÓn tèi −u ®−îc tr×nh bµy trong Clarke (1983).3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îcKh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc më réng mét c¸ch tù nhiªn kh¸i niÖm ¸nh x¹(®¬n trÞ) ®o ®−îc trong gi¶i tÝch hµm. Mét kÕt qu¶ quan träng ë ®©y lµ ®Þnh lýcña von Neumann nãi r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc cã gi¸ rÞ kh¸c rçng cã l¸t c¾t®o ®−îc. 7778 3. TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ Trong suèt môc nµy, gi¶ sö Y lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ, kh¶ li 1 ,vµ A lµ mét σ-®¹i sè c¸c tËp con cña tËp hîp X. C¸c tËp thuéc A ®−îc gäi lµc¸c tËp ®o ®−îc. TËp X xÐt víi σ-®¹i sè A (hay cÆp (X, A)) ®−îc gäi lµ kh«nggian ®o ®−îc 2 . Ký hiÖu σ-®¹i sè Borel cña kh«ng gian mªtric Y bëi B - tøc lµB lµ σ-®¹i sè nhá nhÊt chøa tÊt c¶ c¸c tËp më cña Y . Nh¾c l¹i r»ng hä A ®−îc gäi lµ mét σ-®¹i sè nÕu nã tháa m·n ba tÝnh chÊtsau: (i) X ∈ A, (ii) X A thuéc A víi mäi A ∈ A, (iii) hîp cña mét hä tïy ý gåm mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp thuéc A lµ méttËp thuéc A. Tõ (i)-(iii) suy ra r»ng ∅ ∈ A vµ giao cña mét hä tïy ý gåm mét sè ®Õm®−îc c¸c tËp thuéc A lµ mét tËp thuéc A. Trong ®Þnh nghÜa sau vµ trong c¸c kh¼ng ®Þnh ë c¸c bµi tËp 3.1.1–3.1.3 takh«ng cÇn gi¶ thiÕt Y lµ kh«ng gian mªtric ®ñ, kh¶ li, mµ chØ cÇn gi¶ sö Y lµkh«ng gian t«p« 3 . Khi ®ã, B vÉn ký hiÖu σ-®¹i sè sinh ra bëi c¸c tËp më cñaY . HiÓn nhiªn B chøa tÊt c¶ c¸c tËp ®ãng cña Y .§Þnh nghÜa 3.1.1 (¸nh x¹ ®¬n trÞ ®o ®−îc; xem Aubin vµ Frankowska (1990),tr. ...