Giải tích đa trị P5

Giải tích đa trị P5Giải tích (tiếng Anh: mathematical analysis) là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay.Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một cách chính xác, đầy đủ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích đa trị P55.2. C¸c ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ bæ trî 155tr¬n (vµ còng kh«ng nhÊt thiÕt lµ Lipschitz ®Þa ph−¬ng) cã d¹ng (1.1) vµ ¸p dôngc¸c kÕt qu¶ ®ã ®Ó thu ®−îc c¸c ®Þnh lý hµm ng−îc, ®Þnh lý ¸nh x¹ më, quy t¾cnh©n tö Lagrange cho bµi to¸n tèi −u cã hÖ rµng buéc lµ hÖ bÊt ®¼ng thøc suyréng (gäi t¾t lµ bµi to¸n tèi −u cã rµng buéc nãn3 , nÕu K lµ h×nh nãn). Chóng ta®¹t ®−îc ®Ých ®ã nhê sö dông lý thuyÕt Jacobian xÊp xØ ®Ò xuÊt bëi c¸c t¸c gi¶V. Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc (xem Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999, 2002a,b))vµ sö dông mét d¹ng më réng míi cña ®iÒu kiÖn chÝnh quy Robinson cho c¸chµm vÐct¬ liªn tôc. Chóng ta sÏ thÊy r»ng Jacobian xÊp xØ theo nghÜa Jeyakumar-Luc lµ métc«ng cô h÷u hiÖu ®Ó xö lý c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn c¸c hµm liªn tôc, kh«ngnhÊt thiÕt Lipschitz ®Þa ph−¬ng. Jacobian xÊp xØ tu©n theo mét hÖ thèng kh¸ ®Çy®ñ c¸c quy t¾c tÝnh to¸n. C¸c quy t¾c nµy th−êng uyÓn chuyÓn h¬n, s¾c nÐt h¬nc¸c quy t¾c tÝnh to¸n cho Jacobian suy réng Clarke (xem Clarke (1983)). §ãlµ v× Jacobian suy réng Clarke lu«n lµ tËp låi, vµ phÐp lÊy bao låi lµ kh«ng thÓtr¸nh khái khi ta tiÕn hµnh tÝnh to¸n víi ®èi t−îng nµy. Ch¼ng nh÷ng Jacobiansuy réng Clarke lµ mét kiÓu Jacobian xÊp xØ, mµ nhiÒu lo¹i ®¹o hµm cña hµmvÐct¬ (nh− tiÒn ®¹o hµm theo nghÜa Ioffe 4 , ‘thïng ®¹o hµm’ kh«ng giíi néi theonghÜa Warga 5 ) còng lµ nh÷ng vÝ dô vÒ Jacobian xÊp xØ. Trong Môc 5.8 ë cuèi ch−¬ng nµy, chóng ta sÏ chøng tá r»ng ®èi ®¹o hµmtheo nghÜa Mordukhovich (xem Mordukhovich (1994b), Rockafellar vµ Wets(1998), vµ Môc 4.2 trong Ch−¬ng 4) vµ Jacobian xÊp xØ lµ nh÷ng kh¸i niÖm rÊtkh¸c nhau. §ã lµ lý do chÝnh gi¶i thÝch t¹i sao tõ c¸c ®Þnh lý hµm Èn sö dông®èi ®¹o hµm trong Mordukhovich (1994a,c), Rockafellar vµ Wets (1998),..., takh«ng thÓ rót ra c¸c kÕt qu¶ t−¬ng øng trong ch−¬ng nµy. Trong Môc 5.3 chóngta sÏ so s¸nh chi tiÕt h¬n sù kh¸c biÖt gi÷a c¸c ®Þnh lý hµm Èn thu ®−îc ë ®©yvµ c¸c kÕt qu¶ cña Mordukhovich (1994a,c). C¸c ®Þnh lý hµm Èn, c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz ®Þaph−¬ng cña hµm gi¸ trÞ tèi −u trong ch−¬ng nµy më réng c¸c ®Þnh lý t−¬ng øngtrong Yen (1997), nÕu nh− tËp rµng buéc cè ®Þnh C lµ kh¸c rçng, ®ãng vµ låi.(Trong Yen (1997) chØ cÇn gi¶ sö C lµ kh¸c rçng vµ ®ãng.)5.2 C¸c ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ bæ trîMôc nµy tr×nh bµy mét vµi sù kiÖn c¬ b¶n vÒ Jacobian xÊp xØ vµ c¸c ®Þnh nghÜatÝnh chÝnh quy, nhiÔu chÊp nhËn ®−îc, vµ tÝnh æn ®Þnh cña hÖ bÊt ®¼ng thøc suyréng liªn tôc d¹ng (1.1). 3 TNTA: cone-constrained optimization problem. 4 TNTA: Ioffe prederivative. 5 TNTA: Warga unbounded derivative container.156 5. HÖ bÊt ®¼ng thøc suy réng §èi víi mét kh«ng gian Euclide Z, ký hiÖu SZ ®−îc dïng ®Ó chØ mÆt cÇu®¬n vÞ trong Z. Bao ®ãng cña h×nh nãn sinh ra bëi tËp M ⊂ Z sÏ ®−îc ký hiÖubëi coneM . Nãn ®èi ngÉu ©m cña tËp M ®−îc ký hiÖu bëi M∗ , nghÜa lµ M ∗ = {w ∈ Z : w, z 0 ∀z ∈ M }.Nãn lïi xa 6 (xem Jeyakumar vµ Luc (2002a,b), Rockafellar vµ Wets (1998))M∞ cña tËp M ⊂ Z lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng vÐct¬ w ∈ Z sao cho tån t¹i d·y{tk } c¸c sè d−¬ng héi tô ®Õn 0 vµ d·y {zk } ⊂ M ®Ó w = lim tk zk . §èi víi k→∞mét h×nh nãn M ⊂ Z vµ mét sè ε ∈ (0, 1), l©n cËn ε−nãn Mε cña M (xemJeyakumar vµ Luc (2002a,b)) ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc M ε = {z + ε z BZ : z ∈ M }. ¯§Ó cho ®¬n gi¶n, ta sÏ viÕt M∞ thay cho (M∞ )ε . ε Sau ®©y lµ mét vµi kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ vÒ Jacobian xÊp xØ ®· ®−îc ®−a ratrong Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999, 2002a,b).§Þnh nghÜa 5.2.1 (Jacobian xÊp xØ). Cho f : I n → I m lµ ¸nh x¹ liªn tôc. R RTËp con ®ãng Jf (x) cña kh«ng gian L(I n , I m ) c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ I n R R Rvµo I m (®−îc ®ång nhÊt víi tËp c¸c ma trËn cÊp m × n) ®−îc gäi lµ mét RJacobian xÊp xØ cña f t¹i x ∈ I n nÕu, víi mäi u = (u1 , . . . , un ) ∈ I n vµ ¯ R Rv = (v1 , . . . , vm ) ∈ I R m , ta cã(2.1) (v ◦ f )+ (¯; u) x sup v, Au , A∈Jf (¯) xë ®ã (v ◦ f )(x) = v1 f1 (x) + · · · + vm fm (x) lµ hµm hîp cña v vµ f , vµ (v ◦ f )(¯ + tu) − (v ◦ f )(¯) x x(2.2) (v ◦ f )+ (¯; u) = lim sup x t↓0 ...