Giải tích đa trị P6

Giải tích đa trị P6Giải tích (tiếng Anh: mathematical analysis) là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay.Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích đa trị P65.8. §èi ®¹o hµm Mordukhovich vµ Jacobian xÊp xØ 195V× thÕ, kh«ng thÓ so s¸nh kh¸i niÖm ®èi ®¹o hµm víi kh¸i niÖm Jacobian xÊpxØ. §Ó v−ît qua khã kh¨n ®ã, chóng ta cÇn ®Õn ®Þnh nghÜa sau.§Þnh nghÜa 5.8.1. Mét tËp ®ãng kh¸c rçng ∆ ⊂ L(Rn , Rm ) c¸c to¸n tö tuyÕntÝnh ®−îc gäi lµ mét ®¹i diÖn 20 cña ¸nh x¹ ®èi ®¹o hµm D∗ f (¯)(·) nÕu x(8.2) sup x∗ , u = sup A∗ y ∗ , u ∀u ∈ Rn , ∀y ∗ ∈ Rm . x∗ ∈D ∗ f (¯)(y ∗ ) x A∈∆ Do ®Þnh lý t¸ch c¸c tËp låi, (8.2) t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiÖn sau(8.3) coD∗ f (¯)(y ∗ ) = co{A∗ y ∗ : A ∈ ∆} x ∀y ∗ ∈ Rm . NÕu f lµ kh¶ vi chÆt t¹i x, th× ∆ := {f (¯)} lµ mét ®¹i diÖn cña ¸nh x¹ ®èi ¯ x®¹o hµm D∗ f (¯)(·). x NÕu f : Rn → Rm lµ Lipschitz t¹i x, nghÜa lµ tån t¹i > 0 sao cho ¯ f (x ) − f (x) x − x víi mäi x, x ®−îc lÊy tïy ý trong mét l©n cËn cñax, khi ®ã tËp¯ JB f (¯) = { lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x}, x ¯ k→∞®−îc gäi lµ B-®¹o hµm, lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x. ë ®©y ¯ Ωf = {x ∈ Rn : ∃ ®¹o hµm FrÐchet f (x) cña f t¹i x}.NhËn xÐt r»ng tËp lín h¬n J Cl f (¯) := co{ lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x} x ¯ k→∞(Jacobian suy réng Clarke) cña cña f t¹i x, còng lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i ¯x. Trong tr−êng hîp m = 1, J¯ Cl f (¯) = ∂ Cl f (¯) (xem Môc 5.2). x xMÖnh ®Ò 5.8.1. NÕu hµm f : Rn → Rm lµ Lipschitz ®Þa ph−¬ng t¹i x, th× tËp ¯hîp ∆ := JB f (¯) lµ mét ®¹i diÖn cña ¸nh x¹ ®èi ®¹o hµm D∗ f (¯)(·). x xChøng minh. Theo c«ng thøc (2.23) trong Mordukhovich (1994b), ta cã A∗ y ∗ : A ∈ J Cl f (¯) = coD∗ f (¯)(y ∗ ) x x ∀y ∗ ∈ Rm .V× J Cl f (¯) = coJB f (¯), tõ ®ã suy ra r»ng x x coD∗ f (¯)(y ∗ ) = co{A∗ y ∗ : A ∈ JB f (¯)}. x x 20 TNTA: representative.196 5. HÖ bÊt ®¼ng thøc suy réngVËy (8.3) nghiÖm ®óng nÕu ta chän ∆ = JB f (¯). §iÒu ®ã chøng tá r»ng x∆ = JB f (¯) lµ mét ®¹i diÖn cña ¸nh x¹ ®èi ®¹o hµm D∗ f (¯)(·). 2 x xMÖnh ®Ò 5.8.2. NÕu f lµ Lipschitz t¹i x vµ nÕu ∆ lµ mét ®¹i diÖn cña ¸nh x¹ ¯®èi ®¹o hµm D∗ f (¯)(·), th× Jf (¯) := ∆ lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x. x x ¯Chøng minh. Gi¶ sö y ∗ ∈ Rm ®−îc cho tïy ý. Theo MÖnh ®Ò 2.11 trongMordukhovich (1994b), ta cã(8.4) D∗ f (¯)(y ∗ ) = ∂(y ∗ ◦ f )(¯). x xV× y ∗ ◦ f lµ Lipschitz t¹i x, ¯ (y ∗ ◦ f )o (¯; u) = sup{ x∗ , u : x∗ ∈ ∂ Cl (y ∗ ◦ f )(¯)} ∀u ∈ Rn . x xKÕt hîp ®iÒu ®ã víi (7.4) vµ (8.4), ta thu ®−îc (y ∗ ◦ f )o (x; u) = sup{ x∗ , u : x∗ ∈ D∗ f (¯)(y ∗ )} x = sup{ A∗ y ∗ , u : A ∈ ∆}.Do ®ã, (y ∗ ◦ f )+ (¯; u) x (y ∗ ◦ f )o (x; u) = sup{ y ∗ , Au : A ∈ ∆}.V× tÝnh chÊt ®ã ®óng víi mäi y∗ ∈ Rm vµ u ∈ Rn , ta kÕt luËn r»ng Jf (¯) := ∆ xlµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x. 2 ¯ Trong mèi liªn hÖ víi MÖnh ®Ò 5.8.2, chóng ta cã c©u hái tù nhiªn sau ®©y.C©u hái 2: Ph¶i ch¨ng nÕu f : Rn → Rm lµ hµm vÐct¬ liªn tôc vµ ∆ lµ mét®¹i diÖn cña ¸nh x¹ ®èi ®¹o hµm D∗ f (¯)(·) : Rm ⇒ Rn , th× Jf (¯) := ∆ lµ x xJacobian xÊp xØ cña f t¹i x? ¯ KÕt hîp mÖnh ®Ò sau víi mÖnh ®Ò 5.8.2 ta cã c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh choC©u hái 2.MÖnh ®Ò 5.8.3. NÕu ¸nh x¹ ®èi ®¹o hµm D∗ f (¯)(·) : Rm ⇒ Rn cña hµm sè ...