Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 1

Mục đích của giáo trình Lý thuyết nhóm do Lê Thị Thanh Nhàn chủ biên là cung cấp những kiến thức cơ bản nhất về nhóm để phục vụ công tác giảng dạy môn "Lý thuyết nhóm ở bậc đại học". Phần 1 cuốn giáo trình trình bày các nội dung: Nhóm và nhóm con, lớp phép, đồng cấu nhóm, tác động của nhóm lên tập hợp. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 1 B ộ G I Á O DỤC VÀ Đ À O TẠO Đ Ạ I H Ọ C THÁI N G U Y Ê N L Ê T H Ị T H A N H N H À N (chủ biên) VŨ M Ạ N H XUÂN G I A O T R I N HLÝ THUYẾT NHÓM (DÙNG CHO SINH VIÊN N G À N H T O Á N HỌC) NHÀ XUẤT B Ả N ĐẠI HỌC Q u ố c GIA HÀ N Ộ ISÁCH ĐƯỢC XUẤT BẢN BỞI s ự TÀI TRỢ CỦA D ự ÁN GIÁO DỤC ĐẠI HỌC 2 MỤC LỤC TrangL ờ i nói đ ầ u VChương ì: N h ó m v à n h ó m conL I Định nghĩa nhóm và ví dụ Ì1.2 Một số tính chất 81.3 Nhóm con 151.4 Nhóm con của một nhóm xyclic 19Chương 2: L ớ p g h é p , đ ồ n g c â u n h ó m2.1 Lớp ghép, Định lý Lagrange 252.2 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương 302.3 Đồng cấu nhóm 342.4 Các định lý đồng cấu nhóm 39Chương 3: T á c đ ộ n g của n h ó m lên t ậ p hợp3.1 Nhóm đối xứng 453.2 G tập 533.3 Công thức các lớp 563.4 Một ứng dụng vào tổ hợp 62Chương 4: N h ó m h ữ u h ạ n , Đ ị n h lý Sylow4.1 p - nhóm 73 iii4.2 Định lý Sylovv 804.3 Một số ứng dụng cùa Định lý Sylow 83Chương 5: C h u ỗ i hợp t h à n h , n h ó m giúi được5.1 Chuỗi hơp thành 875.2 Nhóm giải được 94Chương 6: N h ó m t ự do, p h â n tích t h à n h t ổ n g t r ự c t i ế p6.1 Nhóm tự do loi6.2 Biểu diễn nhóm bàng hệ sinh và các quan hệ 1056.3 Phân tích nhóm thành tổng trực tiếp 113Chương 7: N h ó m A b e l7.1 Nhóm Abel tự do 1217.2 Nhóm Abel hữu hạn - Định lý cơ sở 1307.3 Nhóm Abel hữu hạn sinh 133Tài liệu tham k h á o 143 iv L Ờ I N Ó I Đ Â U M ụ c đích của g i á o trình là cung cấp những k i ế n thức cơ bảnnhất về n h ó m để phục vụ c ô n g tác giảng dạy và học tập m ô n L ýthuyết n h ó m ớ bậc đ ạ i học. G i á o trình g ồ m 7 c h ư ơ n g . Chương Ì và C h ư ơ n g 2 trình bày k i ế nthức cơ sờ về n h ó m , n h ó m con, lớp g h é p và đổng cáu n h ó m . C h ư ơ n g3 quan tâm đ ế n một số kết quả mang tính kĩ thuật về n h ó m như tácđộng của n h ó m lên tập hợp và một ứng dụng trong bài toán tổ hợp.C h ư ơ n g 4 trình bày về n h ó m hữu han. Định lý Sylov và ứng dụngtrong bài toán p h â n loại n h ó m . Chương 5 viết về chuỗi hợp thành vàn h ó m g i ả i được, m ộ t l o ạ i n h ó m liên quan chặt chẽ với tính giải đượcbằng căn thức của các đa thức. Chương 6 quan tâm đ ế n n h ó m tự do,một ứng dụng của n h ó m tự do trong bài toán biểu d i ễ n n h ó m b à n g hệsinh và các quan hệ và bài toán p h â n tích n h ó m thành tổng trực tiếp.Chương c u ố i trình bày c á c vấn đề về n h ó m A b e l . Bạn đọc c ó t h ể tự học m ô n L ý thuyết n h ó m với cuốn giáo trìnhnày, nêu đã được trang bị một số k i ế n thức sơ lược về tập hợp, quanhệ, ánh xạ, số phức và k h ô n g gian véc tơ. N ế u ai đã học Đ ạ i số đ ạ ic ư ơ n g ở c h ư ơ n g trình đ ạ i học thì có thê bỏ qua các c h ư ơ n g Ì và 2để tiếp cận thẳng c á c c h ư ơ n g sau. Đ ể n g ư ờ i đọc dễ theo d õ i , trongsuốt giáo trình, c á c k h á i n i ệ m và kết quả đ ề u được d i ễ n g i ả i chi tiết,có ví dụ m i n h hoa; c ụ m từ h i ể n nhiên ta c ó tránh được d ù n g trongcác chứng m i n h ; phần bài tập được thiết k ế ngay sau một vài mục nhỏcủa c h ư ơ n g . Trong toàn bộ cuốn g i á o trình, c á c n h ó m được kí hiệu bởi G, H, Kị Vcác đồng cấu n h ó m thường được kí h i ệ u bởi f , g , h, k...; lác đ ộ n g củamột phần tử X của n h ó m G lên phần tử s của tập hợp s t h ư ờ n g đượckí h i ệ u là xs hay X • s; tập c á c số tự n h i ê n , tập c á c số n g u y ê n , tập c á csố hữu tỷ, tập các ...