Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 giới thiệu tới người đọc các nội dung: Nhóm hữu hạn, định lý Slylow, chuỗi hợp thành - Nhóm giải được, nhóm tự do - Phân tích thành phần tổng trực tiếp, nhóm Abel. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Lý thuyết nhóm: Phần 2C h ư ơ n g 4N h ó m h ữ u h ạ n , Đ ị n h l ý S y l o w4.1 p—nhóm4.1.1. Định nghĩa. Cho p là số nguyên tố. Một nhóm G cấp rỉ đượcgọi là một p-nlióm n ế u n là m ộ t lũy thừa của p. M ộ t n h ó m con / / củamột n h ó m G được g ọ i là p-nlìóm con nếu là p - n h ó m . M ộ t p - n h ó mcon cùa một n h ó m G được g ọ i là p—nhóm con Sylow nêu cấp của Hlà lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G.4.1.2. Ví d ụ . N ế u p là số n g u y ê n t ố thì n h ó m cộng Z k là m ộ t p p—nhómvới m ọ i k e N . Trong m ộ t n h ó m cấp 100, các n h ó m con cấp 5 và cấp25 là các 5 - n h ó m con, trong đ ó các n h ó m con cấp 25 là c á c 5 - n h ó mcon Sylow.4.1.3. Ví d ụ . Trong n h ó m đ ố i xứng 5,3, các 2 - n h ó m con là { ( 1 ) , ( 1 2 ) } ,{ ( 1 ) , ( 2 3 ) } , { ( 1 ) , ( 1 3 ) } và c h ú n g cũng là các 2 - n h ó m con Sylow. C óduy nhất m ộ t 3 - n h ó m con là { ( 1 ) , (123), (132)} và n h ó m con n à y là3 - n h ó m con Sylow. T i ế p theo, c h ú n g ta chứng minh sự tồn tại cùa c á c p - n h ó m con 73Sylovv. Trước hết, chúng ta cần kết quả sau đây.4.1.4. B ổ đ ề . Cho G lù nhóm giao hoán cấp n. Gọi k là bội chungnhỏ nhất của các cấp của các phần từ của G. Khi dó Tì là ước củamội lũy thừa nào dó của k.Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Trường hợp n = Ìlà hiến nhiên. Cho n > ì. K h i đ ó t ồ n t ạ i a e G, a Ỷ - e Kí hiệu Hlà n h ó m con xyclic sinh bởi a. Vì G giao h o á n nên / / chuẩn tắc. Dođ ó ta có n h ó m thương G/H. Vì cấp của / / là c á p c ù a (ì n ê n n ó lớnhơn Ì và là ước của Ả Suy ra cấp của G/H n h ỏ hơn rì. G ọ i li Ì là cấpcủa G/H, m là cấp của H và b ộ i chung nhỏ nhất của c á c cấp của cácphần tử của G/H là ki. Theo g i ả thiết quy nạp, t ồ n t ạ i số tự n h i ê n tsao cho Ui là ước c ù a kị. Cho Hx € G/H. Vì cấp của X trong n h ó mG là ước của k nên (H,r) k — Hx k — He. Do đ ó cấp của Hi trongn h ó m G/H là ước của k. Suy ra ki là ước của k. Vì m là ước của kvà Tì = nTn nên n là ước của k t + ì . •4.1.5. B ổ đ ề . Cho G là nhóm giao hoán có cấp Tỉ và p là ước nguyêntô của TI. Khi đó G chứa ít nhất một nhóm con cấp p.Chứng minh. G ọ i k là b ộ i chung nhỏ nhất của c á c cấp của c á c phầntử của G. Theo Bổ đề 4.1.4, tồn t ạ i t sao cho Tỉ là ước của kK Vì p làước của n nên p là ước của k . l Do Ị) n g u y ê n t ố n ê n p là ước của k.Theo định nghĩa của k, tồn tại phần tử a G G sao cho cấp của a là b ộ icủa p. G ọ i cấp của a là r, với r = ps. Đ ặ t b = a . s K h i đ ó 6 c ó cấp p.Thật vậy, ta có ìf = a ps = e. N ế u b = e thì a l ls = e, do đ ó is là b ộ icủa p.s, suy ra ỉ là b ộ i của p. Vì t h ế (ò) là n h ó m con cấp p của G. • Đ ị n h lý sau đây chỉ ra sự tồn t ạ i của n h ó m con Sylow. 744.1.6. Đ ị n h lý. Cho G là nhóm có cấp n và p là ước nguyên tố củaTì. Khi đó G chứa ít nhất một p-nhóm con Sylow.Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo n. Vì p làước của n nên n > p. K h i Tì = p thì G chính là p - n h ó m con Sylowcủa G. Cho n > p, n là b ộ i của p, và giả sử định lý đã đ ú n g cho cácn h ó m có cấp là b ộ i của p và nhỏ hơn Tì. Xét trường hợp G chứa một n h ó m con H ^ G sao cho chỉ số củaH n g u y ê n t ố với p. K h i đ ó cấp của H nhỏ hơn n và là b ộ i của p.Theo giả thiết quy nạp, H chứa một p - n h ó m con Sylow và n ó cũng làp - n h ó m con Sylow của G. G i ả sử tất cả n h ó m con thực sự của G đ ề u có chỉ số là b ộ i của p.Xét tác động của G lên G bằng p h é p liên hợp. K í hiệu c là tâm củaG. Cho a G c. K h i đ ó Ga = G, trong đó ...