Giáo trình Lý thuyết nhóm (Dùng cho sinh viên ngành Toán học): Phần 2

Giáo trình này nhằm trình bày một cách có hệ thống các cơ sởcủa lý thuyết nhóm, nhằm giúp học sinh nắm được những kiến thức cơ bản đầu tiên của lý thuyết nhóm, từ đó có thể tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sâu sắc hơn của lý thuyết nhóm cũng như những lý thuyết khác của toán học hiện đại có liên quan. Phần 2 giáo trình là nội dung chương 2 - Một số lớp nhóm quan trọng. Mời bạn đọc cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Lý thuyết nhóm (Dùng cho sinh viên ngành Toán học): Phần 2 Chương l i M Ộ T S Ố L Ớ P N H Ó M QUAN T R Ọ N G §1. NHÓM HỮU HẠN Tiết này dành cho việc trình bày đinh iý Xi-lốp về nhóm hữu hạn, mộttrong những định lý quan trọng nhất của lý thuyết nhóm cổ điển và cónhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các ngành toán học khác nhau. 1. Quỹ đạo. Người ta nói rằng: nhóm G tác động trên tập hặp M , nếuđối với mỗi cặp phần tử me M , ge G, xác định phần từ rnge M thỏa mãnhai điều kiên ì) (mgi)g2 = m(gig2) li) me = mvói mọi me M , gi,g e G, trong đó e là phần tử đơn vị của G. 2 Tập hặp mG = {mg I ge G} đưặc gọi là quỹ đạo của phần tử m. Rõ ràng là quỹ đạo của hai phần tử thuộc M hoặc trùng nhau, hoặckhông giao nhau nên tập hặp M đưặc phân hoạch thành các quỹ đạokhÔỊỊơ W T * nhau. 2. Địũii ci Áao j. t Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một sốnguyên tố. Tồn tại: Đối với mỗi lũy thừa p a chia hết cấp của G, tòn tại trong G anhóm con cấp p . a +I Lông nhau: Nếu p chia hết cấp của G, thì mỏi nhóm con cấp p a a +/của G được chỊa trong một nhóm con cấp p nào đố của G. Nói riêng, r rp - nhóm cỡn tối đại của G, đố chính là các nhóm con cấp p , trong đó plà lũy thừa cao nhất của p, chia hết cấp của G. Liên hợp: Tất cả các p- nhóm con tối đại của G đều liên hợp với nhautrong G. SỐ lượng: Số lượng p- nhóm con tối đại của G đồng dư với Ị theomôđun p. Chứng minh. Tòn tại: Giả sử I G I = ựL (p,ể) = 1. Giả SÙM là tập ahặp tất cả các tập con có lực lưặng p của G. Rõ ràng p 7 = 1 J 23 r abởi vậy lũy thừa lớn nhất của p, chia hết M ị, sẽ là p . Nếu MÈM , ge G thì rõ ràng , Mg = {mg I me M} e Mcho nên G tác động ừẽĩiM bời các phép chuyển dịch phải. Giả sử {Mi, Ms} là quỹ đạo mà lực lượng là s của nó không chia r a lhết cho p , Hơn nữa, giả sử Gi= { g | g e G , M g = M }, (Ì < i < j) i i Thử nghiỏm trực tiếp rằng Gi là nhóm con của G, còn Gi là các lớp aliên hợp của G theo Gi. Chúng ta chứng tỏ rằng nhóm con Gi có cấp pphải tìm. Kí hiỏư ị Gi ị- - t, theo định lý Lagrãng, ta có st = ị G I = p7. r a aBởi vì lũy thừa cao nhất của p chia hết s là p , nên t chia hết cho p , đặc abiỏt t > p . Mặt khác, nếu xe Mi thì rõ ràng aGi C M Ị , nên I Gi I < Ị Ml I a ahay t < p . Do đó t = p . Lòng nhau: Giả sử p a + 1 chia hết I G I , p là nhóm con cấp p của G, & alà lớp các nhóm con liên hợp với p bởi các phần tử của G. Chúng ta có e = |G:N (P)I G Y (Trong ao I V ) là cái chuẩn hóa của nhóm con p, tức là tập hợp tất cảcác phần tử g€ G mua mãn điều kiỏn gP = Pg). Nếu I (3 không chia hết a +1cho p, thì I NG(P) Ì chia hết cho p , v à theo phần chứng minh trên trongN (P)/P tồn tại nhóm con p*/p cấp p. Khi đó p* là nhóm con phải tìm. G Giả sử I (ỉ I chia hết cho p. Nhóm con p tác động trên Ổ bói các phépliên hợp, hơn nữa lực lượng các quỹ đạo chia hết I p I, v ì thế chúng có adạng p , ai > 0. Vì có ít nhất một quĩ đạo- một phần tử - {P} và l ố ichia hết cho p, nên tìm ngay được một quỹ đạo - một phần tử - khác { Q } .Nhưng điều đó có nghĩa p chuẩn hóa Q, vì thế PQ là một p - nhóm con(nhớ rằng PQỵ Q = ỸỊ (? n Q) và mở rộng của một p- nhóm con nhờ mộtp- nhóm con là một p- nhóm) ...