Giáo trình phương trình vi phân

Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biễu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình sai phân đóng vai trò cực kì quan trọng trong kĩ thuật, vật lí, kinh tế và một số ngành khác. Ví dụ: một phương trình sai phân đơn giản
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình phương trình vi phân PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNMuïc luïc1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 5 1.1 Môû ñaàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Caùc khaùi nieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: . . . . . . . . . . . 13 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.5 Phöông trình Bernoully . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.6 Phöông trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.7 Phöông trình Riccati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 27 2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät . . . . . . . . . 27 2.1.1 F chæ phuï thuoäc vaøo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x: . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 F khoâng phuï thuoäc vaøo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Phöông trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Muïc luïc 2.2.3 Phöông trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán . . . . . . . . . . . . . . . 363 Phöông trình vi phaân caáp cao 39 3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: 40 3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: . . . . . . . 43 3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính. . . . . . . . . . 46 3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc ...