Giáo trình thuỷ khí _ Chuyển động thế phẳng

Mục đích: Nghiên cứu một số đặc trưng động lực học của chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tưởngPhương pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức8.1- ứng dụng hàm biến phứcI. Thế phức:Dòng chất lỏng lý tưởng chuyển động có thế khi thoả mãn điều kiện
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình thuỷ khí _ Chuyển động thế phẳngGiáo trình thuỷ khíChuyển động thế phẳng 1 chuyển động thế phẳngChương 8Mục đích: Nghiên cứu một số đặc trưng động lực họccủa chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tưởngPhương pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức8.1- ứng dụng hàm biến phứcI. Thế phức:Dòng chất lỏng lý tưởng chuyển động có thế khi thoảmãn điều kiện: rot u  0Khi đó ta đưa vào hàm thế vận tốc , trong đó cácthành phần vận tốc được xác định:  (i=x,y,z) (1) ui  iVectơ vận tốc: u  grad d 2 dTa giả thiết ; ; là liên tục theo toạ độ dt 2 dtTa nhận thấy bất kỳ hàm  + C nào cũng thoả mãn (1) :thế của trường vận tốc chính xác đến hằng số. =(x,y,z);Đối với chuyển động thế dừng: khi=(x,y,z)=const ta được phương trình mặt đẳng thế(mặt có thế bằng nhau)Lý thuyết giải tích vectơ cho thấy: vectơ grad vuônggóc với mặt =const do đó trên mặt đẳng thế vecơ vậntốc tại mọi điểm sẽ vuông góc với nó.Xét chuyển động thế, phẳng, dừng, khi đó chất lỏng dichuyển trong mặt phẳng xOy, thế vận tốc  được xácđịnh như sau: 2   ; uy  ux  y xPhương trình các đường đẳng thế trong mặt phẳng xOysẽ là: (x,y) = C  Gọi hàm (x,y) thoả mãn điều kiện: u x  ; uy   y xBiểu thức (x,y) = C là phương trình đường dòng  Hàm thế và hàm dòng thoả mãn phương trìnhLaplace; bởi vì: u y u xTừ điều kiện không xoáy: rot x u   0 x x  2  2 ta có  0 x 2 y 2 u x u yTừ phương trình liên tục:  0 x y  2  2ta có  0 x 2 y 2Như vậy hàm thế và hàm dòng là các hàm điều hoà(Laplace=0)Ta nhận thấy hàm thế và hàm dòng thoả mãn điều kiệnCauchy-Riemann (điều kiện trực giao giữa đường dòngvà đường đẳng thế)        0 x x y yTrong lý thuyết hàm biến phức, nếu  và  là các hàmđiều hoà và thoả mãn điều kiện Cauchy- Riemann thìhàm phức (x,y) + i (x,y) là hàm của 1 biến số phức z z= x+iy=r(cos+isin )=e.exp(i)vớiNhư vậy tồn tại hàm phức W(z)= (x,y) + i (x,y) vàcòn gọi là thế phứy c. z 3 i  x 1 Hình 1II. Vận tốc phứcLý thuyết hàm biến phức cho: dW dW dW   dz dx d(iy ) dWnghĩa là đạo hàm và đạo hàm theo 2 phương của trục dzthực và trục ảo bằng nhau, ta có thể chứng minh:dW    i  u x  iu y  udx x x  dW dW  i  i   u x  iu y  ud iy  y y dyu=ux+iuy gọi là vận tốc phức; u = ux+iuy gọi là vận tốcliên hợp; mặt phẳng (ux,uy) gọi là mặt phẳng vận tốc.Kết luận: Để khảo sát chuyển động thế phẳng của chấtlỏng lý tưởng ta áp dụng lý thuyết hàm biến phức, mỗithế phức tương ứng với 1 chuyển động nào đấy của chấtlỏng; ngược lại, một chuyển động thế sẽ được biểudiễn bằng một thế phức nào đấy. Từ đấy ta có 2 loạibài toán:- Xác định chuyển động (trường vận tốc) khi cho biết thế phức.- Xác định thế phức khi cho biết đường biên của vật bị bao quanh và vận tốc ở vô cùng.8.2 – Một số chuyển động đơn giản: 4I. Chuyển động phẳng:Thế phức W z  ...