Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 1 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn)

Giáo trình Toán cao cấp A3 của TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn) gồm 6 chương, được chia thành 2 phần. Phần 1 giới thiệu đến bạn đọc nội dung từ chương 1 đến chương 3 về các vấn đề như: Số phức, ma trận và hệ phương trình tuyến tính, định thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 1 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn) Chương 1 SỐ PHỨC I. ĐỊNH NGHĨA TẬP HỢP SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN: Tập hợp các số phức , được ký hiệu là C, được định nghĩa bởi tập hợp. với 2 phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau: Phép cộng (+) : (a,b) + (c,d)= (a+c,b+d) Phép nhân (.): (a,b) . (c,d) = (ac-bd, ad+bc) Như vậy mỗi số phức Z theo định nghĩa là một cặp gồm 2 số thực a và b : Z = (a,b) a được gọi là phần thực của số phức Z, ký hiệu là Re(z); b được gọi là phần ảo của Z, kí hiệu là Im(z). Ví dụ: số phức z = (-2,3) có Re(z) = -2 và Im(z) = 3 Các phép toán cộng (+) và nhân (.) các số phức được định nghĩa ở trên có các tính chất sau đây: (tính giao hoán của phép cộng số phức) (tính kết hợp của phép cộng) (iii) Đặt O=(0,0). Ta có: (iv) Với z = (a,b), đặt –z = (-a,-b) . Ta có: z + (-z) = 09; (Tính giao hoán cuả phép nhân) (Tính kết hợp của phép nhân) (viii) tồn tại số phức nghịch đảo, ký hiệu là: z-1 , sao cho z.z-1 = (1,0). Nếu z = (a,b) thì (Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng) Lưu ý :Về mặt cấu trúc đại số , tập số phức C với các phép toán (+) và nhân (.) được định nghĩa ở trên được gọi là trường số phức Với u = (a,b) và v = (c,d ) ≠ 0, ta định nghĩa phép chia số phức như sau: II. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC : Xét các số phức có dạng (a , 0) với ta nhận thấy: (a , 0) + (b , 0) = (a + b , 0) (a , 0) . (b , 0) = (a . b , 0) Như vậy, những số phức có dạng (a , 0) được cộng và nhân giống như những số thực tương ứng đối với phần thực của số phức. Do đó ta có thể đồng nhất số phức (a,0) với số thực a, và nói riêng (0,0) được đồng nhất với 0 , (1,0) được đồng nhất với 1. Sự đồng nhất này cho phép ta xem tập hợp các số thực R bao hàm trong C : Đặt: i = (0 , 1), ta có: i2= (0 , 1) . (0 , 1) = (-1 , 0) = -1 Vậy i là một nghiệm của phương trình z2 + 1= 0. Với , ta có: z = (a,b) = (a ,0) + (b ,0) . (0 ,1) = a + b . i Định lý: Mỗi số phức z = (a,b) được viết một cách duy nhất dưới dạng z = a+b.i với a,b  R. Cách viết z = (a ,b) dưới dạng z = a + b.i được gọi là dạng đại số của số phức z, và số phức được gọi là số phức liên hợp của z. Ngoài ra, kí hiệu : được gọi là môđun của số phức z. Dễ thấy rằng và . Hơn nữa, ta có: Mệnh đề: với mọi ta có: (vi) v ≠ 0 thì (Bất đẳng thức tam giác) III. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Mỗi số phức z = (a,b) có thể được biểu diễn hình học bởi một điểm trong mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b). Gọi r là khoảng cách từ điểm Z(a,b) đến gốc O và  là góc hợp bởi Ox và , ta có: Vậy với mọi số phức z = (a,b) ≠ 0 đều có thể viết dưới dạng: Với r > 0. Cách viết này được gọi là dạng lượng giác của số phức z, góc θ được ký hiệu là arg(z). Lưu ý rằng θ có thể lấy nhiều giá trị khác nhau và các giá trị này sai khác nhau một số nguyên lần .Nếu θ là một giá trị trong các giá trị này thì ta viết: Ví dụ: 2) Tìm dạng lượng giác của số phức Ta có: . Tính arg(z) từ hệ phương trình với ẩn Được . Vậy: IV. LŨY THỪA SỐ PHỨC, CÔNG THỨC MOIVRE: Xét 2 số phức ≠ 0 ở dạng lượng giác: Ta có: Tức là: Từ đó suy ra công thức: Công thức này được gọi là công thức Moivre Ví dụ: Tính (1 + i )2001 V. CĂN CỦA SỐ PHỨC: Định nghĩa : Cho số phức u và n là số nguyên dương. Căn bậc n của u là tập hợp tất cả các số phức z thỏa phương trình: zn = u Nhận thấy rằng căn bậc n của 0 là {0}.Ta chỉ cần tính căn bậc n của n với u ≠ 0. Viết u dưới dạng lượng giác: Ta sẽ tìm số phức z ở dạng lượng giác Thỏa: Vậy căn bặc n của là: Có thể thấy rằng tập hợp này gồm n số phức khác nhau đôi một ứng với k = 0,1,……, n-1 Theo tính toán ở trên, với thì phương trình zn = u có n nghiệm phức phân biệt. Tổng quát hơn, ta có định lý sau đây: Định lý: (Định lý căn bản của đại số) Mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1. Thực hiện các phép toán số phức a) b) c) Bài 2. Tìm các số thực x , y thỏa : (3 + 2.i).x + (1 + 3.i).y = 4 – 3.y Bài 3. Tính: a) b) b) d) Bài 4. Giải phương trình trên C : (ẩn z) a)z2 – 5.z + 4 + 10.i = 0 b)z2 + (2.i - 7).z + 13 – i = 0 Bài 5. Tính căn bậc 3 cuả số phức: a) 1 + i b) 2 – 2.i c) Chương 2 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. MA TRẬN CÁC PHÉP TOÁN: Trong phần này ta ký hiệu K là Q , R hoặc C 1. Khái niệm: Định nghĩa: Một ma trận cấp m x n trên K là một bảng gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau: Trong đó là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của ma trận A (còn gọi là vị trí (i,j)). Đôi khi ma trận A được viết ngắn gọn là A ...