Giáo trình Tôpô đại cương: Phần 2 - TS. Nông Quốc Chinh

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn cuốn giáo trình "Tôpô đại cương" trình bày các nội dung: Ánh xạ liên tục, không gian con, không gian tích, không gian thương; không gian compact, không gian liên thông. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Tôpô đại cương: Phần 2 - TS. Nông Quốc Chinh C h ư ơ n g 3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC, KHÔNG GIAN CON KHÔNG GIAN TÍCH, KHÔNG GIAN THƯƠNG Việc nghiên cứu lớp ánh xạ giữa những không gian tỏpô rất quan trừng, đặc biệt là các ánh xạ liên tục. Trong chương trình giải tích cổ điển chúng ta đã biết về các hàm liên tục. Ở đây khái niệm ánh xa liên tục sẽ là khái quát hơn, sự hiểu biết về các ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này đến không gian tôpô kia sẽ cho ta biết được những tính chất của không gian tôpô nguồn (hoặc đích), đặc biệt các phép đồng phôi giữa những không gian tôpõ sẽ chuyển cấu trúc không gian tôpô này đến không gian tôpô kia với ý nghĩa là các tương đương tỏpô. Các bất biến qua các phép đổng phôi được g ừ i là các bất biên tôpô. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu cụ thể về ánh xạ liên tục. § Ì . Á N H X Ạ LIÊN T Ụ C - P H É P Đ Ồ N G PHÔI Định nghĩa 3.1. • Ta nói ánh xạ f : X - » Y , từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y , là liên tục t ạ i điểm Xo e X nếu với m ỗ i lân cận u của điểm f ( x ) e Y luôn tồn t ạ i lân cận V của điểm Xo thoa mãn f ( V ) c Ư. 0 • Ánh xạ f được g ừ i là ánh xạ liên tục trên không gian tôpỏ X nếu nó liên tục tại m ừ i điểm X G X . Nhận xét. G i ả sử f: X - > Y là ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y . Ánh xạ f là liên tục tại điểm x e X nếu và chỉ nếu với 0 79 m ừ i lân cận u của f (x ) trong Y , tạo ảnh r ' ( U ) là lân cận của x 0 0 trong X . Thật vậy, nếu ánh xạ f là liên tục tại Xo hiển nhiên tồn tại lân cận V của Xo để f ( V ) c u => V c r ( f ( V ) ) c r ' ( U ) =» r ( U ) là Lân cận của l ẵ x trong X. Ngược lại giả sử với m ừ i lân cận u của f ( x ) luôn có 0 0 r ' ( U ) là lãn cận của điểm x trong X . K h i đó chừn V = r ' ( U ) , ta có 0 f ( V ) = f ( r ' ( U ) ) c u . V ậ y f là liên tục tại x . 0 Định lý 3.1. Cho f : X - > Y là ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tỏpô Y . K h i đó các điều kiện sau đây là tương đương: a) Á n h xạ f là liên tục. b) Đ ố i với m ỗ i tập con A bất kì của X luôn có f ( à ) c f ( A ) . c) Tạo ảnh của m ỗ i tập con đóng tùy ý trong Y là tập con đóng trong X . d) Tạo ảnh của m ồ i tập con m ở tùy ý trong Y là tập m ở trong X. e) Tạo ảnh của mỗi phần tử thuộc tiền cơ sở nào đó của tôpô trong Y là tập m ở trong không gian tôpô X . g) Đ ố i với m ồ i tập con B bất kì trong Y luôn có f ~ ' ( B ) c r ' ( B ) . Chứng minh. • a) => b). Giả sử A c X , và f là ánh xạ liên tục. Nếu f( à ) * 0 lấy tuy ý y e f( à ), khi đó 3x e à thoa mãn f(x) = y. G i ả sử u là lân cận tuy ý của y = f(x). Vì f là liên tục, nén tồn tại lân cận V của X sao cho f ( V ) c u , do đó V c f '(U). Vì x e à => V r i A * 0 I => r ( U ) n A * 0 1 nghĩa là tồn tai x'e f ' ( ự ) n A . Đ ố i với phần tử x' đó ta có f ( x ' ) e U Í Ì f ( A ) nghĩa là u n f ( A ) * 0 (làn cận tùy ý của điểm y luôn có giao khác rỗng với tập f ( A ) ) => f( à ) c Ĩ Ĩ Ă ) . • b) => c). Giả sử B là tập đóng tùy ý trong Y, đặt A = r ' ( B ) c X 80 Theo g i ả thiết ta có: f ( A ) c l'(A) = f [ f - ' ( B ) ] = B H f ( X ) c B = B => A c f [ f ( à ) ] c f - ' ( B ) = Á c à . V ậ y A = à 1 => f ' ( B ) là tập đóng trong X . - c) => d). G i ả sử B là tập m ở tuy ý trong Y . K h i đó Y \ B là tập đóng trong Y => r ' ( Y \ B) là tập đ ó n g , nhưng r ' ( Y \ B) = X \ r ' ( B ) là đóng nên r ' ( B ) là tập m ở trong X . • d) => e). H i ể n nhiên, vì m ỗ i phần tử thuộc tiền cơ sở của tôpô trong Y là tập m ở trong Y nên tạo ảnh của nó là m ở trong X . • e) => a). G i ả sử ánh xạ f thoa m ã n điều kiện (e), v ớ i Xo là điểm bất kì trong X , và u là lân cận tuy ý của điểm f(x„) trong Y . G i ả sử co là một cơ sở của tôpô trên Y , và M là m ộ t tiền cơ sở của tôpô đ ó . Theo định lý (2.10), tồn t ạ i w e Ó) sao cho f ( x ) e W c U , t ừ định 0 nghĩa tiền cơ sở ta thấy w là giao hữu hạn nào đó của các phần tử trong M, nghĩa là w = V , n ... n v (Vị EM). k Vì r ' ( W ) = r ( v ) n . . . n 1 1 r ' ( v ) , theo (e) các tập r ' ( V , ) , k f ( V ) đêu là tập m ở trong X , nén r ' ( W ) là tập m ở trong X . Đặt - 1 k r ' ( W ) = V , ta có Xo e r ' ( W ) = V . Ta có: f(V) = f(f - '(W)) = w n f(X) c w c u . Theo định nghĩa f là liên tục t ạ i đ i ể m x . Do x là điểm bất kỳ trong 0 0 X, nên á n h xạ f là liên tục trên X . • b) => g). G i ả sử B c Y tuy ý, đặt A = r ' ( B ) . Theo b) ta có: f ( à ) c ŨÃ) c B ^ à c r'(f(Ã))cr'(B) => r\B) c f-'(B). • g) => b). G i ả sử A c X tuy ý. Đặt B = f ( A ) c Y . Ta có à c r ' ( B ) c f - ' ( B ) => f( à ) c f( r ' ( B ) ) c B = ŨÃ). ũ 6-TP Hì Định lý 3.2. G i ả sử X , Y , z là ba không gian t ô p ô , f : X - * Y và g : Y - > z là các ánh xạ Liê ...