Giáo trình Xác suất thống kê

Giáo trình Xác suất thống kê của trường Đại học Tôn Đức Thắng trình bày đại cương về giải tích tổ hợp, tập hợp, các phép toán tập hợp, quy tắc đếm, giải tích tổ hợp, đại cương về xác suất, hiện tượng ngẫu nhiên, xác suất, xác suất có điều kiện, lược đồ Bernoulli, đại cương về biến số ngẫu nhiên và phương pháp lấy mẫu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Xác suất thống kê Giaùo trình XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ ÑAÏI CÖÔNG VEÀ GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP 1. TAÄP HÔÏP Taäp hôïp laø moät khaùi nieäm nguyeân thuûy, khoâng coù ñònh nghóa. Söï gom goùp moät soá ñoái töôïng laïi vôùi nhau cho ta hình aûnh cuûa taäp hôïp vaø caùc ñoái töôïng ñöôïc gom goùp naøy trôû thaønh phaàn töû cuûa taäp hôïp. Ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu taäp hôïp baèng caùc kyù töï in nhö A, B, C, ..., X, Y, ... vaø phaàn töû baèng caùc kyù töï thöôøng nhö a, b, c, ..., x, y. Neáu x laø moät phaàn töû cuûa A, ta vieát x ∈ A . Ngöôïc laïi, neáu x khoâng laø phaàn töû cuûa A, ta vieát x ∉ A . 1.1. Caùc phöông phaùp xaùc ñònh taäp hôïp. Coù ba phöông phaùp xaùc ñònh taäp hôïp : Phöông phaùp lieät keâ, phöông phaùp tröng tính vaø phöông phaùp duøng giaûn ñoà Venn. Phöông phaùp lieät keâ : Caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp ñöôïc vieát xuoáng giöõa hai ngoaëc nhoïn, “{“ vaø “}”, phaàn töû khaùc nhau ñöôïc phaân caùch bôûi daáu phaåy vaø thoûa hai ñieàu kieän : − Khoâng chuù yù thöù töï lieät keâ, − Moãi phaàn töû chæ ñöôïc lieät keâ moät laàn, khoâng laëp laïi. Chaúng haïn, caùc taäp hôïp A = {a, b, c} vaø B = {c, b, a} laø nhö nhau do chuùng chæ khaùc nhau ôû thöù töï lieät keâ caùc phaàn töû; C = {1, 0,1} khoâng hôïp leä vì phaàn töû 1 ñöôïc lieät keâ hai laàn. Phöông phaùp tröng tính : Ñöa ra moät tính chaát maø chæ coù phaàn töû cuûa taäp hôïp töông öùng ñöôïc thoûa. Chaúng haïn, goïi A laø taäp caùc soá nguyeân chaün. Tính chaát soá nguyeân chaün laø tính chaát ñaëc tröng cho taäp A. Khi ñoù, 2, 1 ∉ A vì chuùng 2 khoâng laø soá nguyeân; 3, 5 ∉ A vì chuùng laø soá nguyeân nhöng khoâng laø soá chaün; 10,100 ∈ A vì chuùng laø soá nguyeân vaø laø soá chaün. Toång quaùt, ngöôøi ta duøng moät haøm meänh ñeà p(x) theo moät bieán x ∈ X , nghóa laø öùng vôùi moãi x ∈ X , ta coù moät meänh ñeà p(x). Taäp A caùc phaàn töû x ∈ X sao cho meänh ñeà p(x) coù chaân trò ñuùng ñöôïc kyù hieäu laø A = {x ∈ X p(x)} . Khi ñoù, ta coù ∀x ∈ X, x ∈ A ⇔ p(x) . Noùi khaùc ñi, x thuoäc veà A neáu vaø chæ neáu p(x) laø meänh ñeà ñuùng. Chaúng haïn, taäp A caùc soá nguyeân chaün ñöôïc vieát laïi laø A = {x ∈ x chia heát cho 2} . 1 Phöông phaùp duøng giaûn ñoà Venn : Ngöôøi ta duøng moät ñöôøng cong ñôn kheùp kín, chia maët phaúng ra laøm hai mieàn, mieàn phía trong ñöôøng cong daønh ñeå lieät keâ caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp, mieàn phía ngoaøi ñöôøng cong daønh ñeå lieät keâ caùc phaàn töû khoâng naèm trong taäp hôïp. Chaúng haïn, ta coù x, a ∈ A , y, b ∉ A . y x b a 2. CAÙC PHEÙP TOAÙN TAÄP HÔÏP. Vôùi hai taäp hôïp A vaø B, ta noùi A laø moät taäp con cuûa B, kyù hieäu A ⊂ B , khi moïi phaàn töû cuûa A ñeàu laø phaàn töû cuûa B, ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B . Taäp taát caû caùc taäp con cuûa moät taäp X cho tröôùc ñöôïc kyù hieäu laø P (X) , P (X) = {A A ⊂ X} . Hieån nhieân X ⊂ X vaø do ñoù X ∈ P (X) . Ngoaøi ra, taäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo caû ñöôïc goïi laø taäp hôïp roãng, kyù hieäu ∅ vaø ta quy öôùc taäp hôïp roãng laø taäp con cuûa moïi taäp hôïp, nghóa laø ∅ ⊂ X hay ∅ ∈ P (X) , vôùi moïi taäp hôïp X. Ví duï, vôùi A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c} vaø C = {b, c, d} , ta coù B, C ⊂ A vì moïi phaàn töû cuûa B cuõng nhö cuûa C ñeàu laø phaàn töû cuûa A. Tuy nhieân B ⊂ C vì toàn taïi / phaàn töû a ∈ B nhöng a ∉ C vaø C ⊂ B vì toàn taïi phaàn töû d ∈ C nhöng d ∉ B . / Cho X laø moät taäp hôïp khoâng roãng vaø A, B laø hai taäp con baát kyø cuûa X, ta ñònh nghóa Phaàn giao cuûa A vaø B, kyù hieäu A ∩ B , laø taäp caùc phaàn töû vöøa thuoäc veà A, vöøa thuoäc veà B, A ∩ B = {x ∈ X x ∈ A ∧ x ∈ B} . Phaàn hoäi cuûa A vaø B, kyù hieäu A ∪ B , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà A hay thuoäc veà B, A ∪ B = {x ∈ X x ∈ A ∨ x ∈ B} . Phaàn hieäu cuûa A cho B, kyù hieäu A \ B , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà A nhöng khoâng thuoäc veà B, 2 A \ B = {x ∈ X x ∈ A ∧ x ∉ B} . Phaàn buø cuûa A trong X, kyù hieäu A , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà X maø khoâng thuoäc veà A, A = {x ∈ X x ∉ A} . Phaàn giao, p ...