Kỹ thuật côsi ngược dấu

Kỹ thuật côsi ngược dấu là một trong những kỹ thuật mới mẻ, khéo léo. Dùng để giải những bài toán BĐT khó khi giải theo phương pháp thông thường. Kỹ thuật côsi ngược dấu rất có hiệu quả trong các bài toán hoán vị.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỹ thuật côsi ngược dấu Kû thuËt c«si ng−îc dÊu Giáo viên : Nguy n Xuân Long Gi ng d y : Môn Toán K thu t CôSi ngư c d u là m t trong nh ng k thu t m i m , khéo léo. Dùng ñgi i nh ng bài toán BðT khó khi gi i theo phương pháp thông thư ng. K thu t CôSingư c d u r t có hi u qu trong các bài toán hoán v .K thu t CôSi ngư c d u ñư c áp d ng d a vào tính ch t : 11 1 1 0< A≤ B⇒ ≥ ⇒− ≤− AB A B 1 1 1 1Khi ñó : a, b > 0, a + b ≥ 2 ab ⇒ ≤ ⇒− ≥− a+b a+b ab 2 abCác Bài toán áp d ng k thu t CôSi ngư c d u:D ng 1:  a , b, c > 0 1 1 1 3 +2 +2 ≥ Bài 1: Cho  CMR : a + b + c = 3 a +1 b +1 c +1 2 2Nh n xét: Ta không th dung BðT CôSi m u ñư c vì: 1 1a 2 + 1 ≥ 2a ⇒ 2 ≤ , ñây chi u BðT ñã ñ i , do ñó ta phân tích l i như sau: a + 1 2a a2 a2 1 a = 1− 2 ≥ 1− = 1 − ð n ñây chi u BðT ñúng v i chi u BðT c n ch nga +1 a +1 2 2a 2minh .LG: ta có: 1 a2 a2 a  a 2 + 1 = 1 − a 2 + 1 ≥ 1 − 2a = 1 − 2  1 b2 b2 b + 2 = 1− 2 ≥ 1− = 1−  b +1 b +1 2b 2 1 2 2 c c c = 1− 2 ≥ 1− = 1− 2  c +1 c +1 2c 2 1 1 1 1 33 +2 +2 ≥ 3 − (a + b + c) = 3 − = a +1 b +1 c +1 2 2 22ð ng th c x y ra khi a=b=c=1  a , b, c , d > 0 1 1 1 1 +2 +2 +2 ≥2Bài 2: Cho  CMR : a + b + c + d = 4 a +1 b +1 c +1 d +1 2 1LG: Ta có: 1 a2 a2 a = 1− 2 ≥ 1− = 1− 2  a +1 a +1 2a 2 1 2 2 b b b  b 2 + 1 = 1 − b 2 + 1 ≥ 1 − 2b = 1 − 2  + 2 2  1 = 1− c ≥ 1− c = 1− c  c2 + 1 c2 + 1 2c 2  2 2  1 = 1− c ≥ 1− d = 1− d  d2 + 1 d 2 +1  2d 2 1 1 1 1 1 +2 +2 +2 ≥ 4 − (a + b + c + d ) = 2 a +1 b +1 c +1 d +1 2 2ð ng th c x y ra khi a=b=c=d=1. ai > 0, i = 1, n  1 1 1 n +2 + ...... + 2 ≥Bài 3(TQ) Cho  n CMR :  ∑ ai = n a1 + 1 a2 + 1 an + 1 2 2  i =1 (B n ñ c t ch ng minh)D ng 2:  a , b, c > 0 a b c 3 +2 +2 ≥Bài 1: Cho  CMR : 2 a + b + c = 3 b +1 c +1 a +1 2LG:Ta có; a ab 2 ab 2 ab =a− 2 ≥a− =a−  b2 + 1 b +1 2b 2  b 2 2 bc bc bc + 2 =b− 2 ≥b− =b−  c +1 c +1 2c 2 c 2 2 ca ca ca =c− 2 ≥c− =a− 2  a +1 c +1 2c 2 (a + b + c)2 a b c 1 +2 +2 ≥ (a + b + c) − (ab + bc + ca ) ≥ (a + b + c) − b2 + 1 c + 1 a + 1 2 2.3ð ng th c xãy ra khi a=b=c= ...