Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh ĐH – THPT Quốc gia và lớp 10 chuyên Toán

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh ĐH – THPT Quốc gia và lớp 10 chuyên Toán" sau đây sẽ giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toán các năm gần đây. Hy vọng sẽ giúp ích cho quý thầy cô và các em trong quá trình giảng dạy và học tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh ĐH – THPT Quốc gia và lớp 10 chuyên ToánMỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI, TUYỂN SINH ĐH-THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nộidung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài toánngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, mình đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức vàgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toáncác năm gần đây.  1 1 1Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:  a  b  c     9 a b c b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  3 . Chứng ming rằng: 1 2009   670 a  b  c ab  bc  ca 2 2 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010 Lời giải 1 1 1 1a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương a  b  c  3 abc ;   3 3 a b c abc  a  b  c   1 1 1Suy ra   9 a b cBất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c a  b  c 2 2007b) Ta có: ab  bc  ca  a  b  c2 2 2  ab  bc  ca  3  669 3 ab  bc  caÁp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có  1 1 1  2     a  b  c  2ab  2bc  2ca   9 2 2  2  a b c ab  bc  ca ab  bc  ca  2 2 1 1 9Suy ra   1 a  b  c ab  bc  ca  a  b  c 2 2 2 2 1 2009Do đó ta được   670 . a  b  c ab  bc  ca 2 2 2Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . 1Bài 2. Với số tự nhiên n  3 . Chúng minh rằng S n  . 2 1 1 1 Với S n    ...   3 1 2  5 2 3   2n  1  n  n 1  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giảiVới n  3 , ta có 1 n 1  n n 1  n n 1  n n +1 - n 1  1 1          2n  1  n  n 1  2n  1 4n  4 n  1 2 4n  4n 2 n  1. n 2  n 2 n 1  1 1 1 1 1 1  1 1  1Do đó ta được S n   1    ...    ...