Kỹ thuật tìm điểm rơi trong bất đẳng thức

Kỹ thuật tìm điểm rơi trong bất đẳng thứcCó thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỹ thuật tìm điểm rơi trong bất đẳng thức Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊI. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  a, b  0 1 1Bài toán 1. Cho  , tìm GTNN của P  2 2  a  b  1 a b 2abGiải 1 1 4 4Ta có: 2 2   2  4 a b 2ab a  2ab  b 2 (a  b)2  1  a a  b  2  MinP  4 khi x  y  1Dấu “=” xảy ra    a  b  1 b  1 2   2  a, b  0 1 1Bài toán 2. Cho  , tìm GTNN của P   a  b  1 1  a 2  b2 2abGiải 1 1 4 4 4Lời giải 1. Ta có: P    2   2 1 a  b 2 2 2ab a  2ab  b  1 (a  b)  1 2 2 2 1  a 2  b2  2ab  (a  b)2  1  0 Dấu “=” xảy ra    (voânghieä ) . Vậy không tồn tại m a  b  1  a  b  1 MinP...?..?Lời giải 2. Ta có: 1 1 1 4 1 4 1P    2    1  a2  b2 6ab 3ab a  6ab  b2  1 3ab (a  b)2  1  4ab 3ab 2  ab 1 4 1 8Mặt khác ab     . Vậy P     2  4  ab 2  ab 2 3 2  6   2   2  1  a 2  b2  3ab  1Dấu “=” xảy ra  a  b ab . a  b  1 2 Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 1 1 1   . Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách   ?..? Làm sao a b ab 2ab 6ab 3abnhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và quachuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bàitoán cực trịII. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang 1Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là mộttrong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đạihọc,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinhĐại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng mộtsố bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do mộtsố sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểusâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề“Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”. III. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Định nghĩa: a  b  a  b  0 a  b   ac b  c  a b  ac bc a  b   ac bd c  d 1 1  a  b  0  a b b) Một số bất đẳng thức cơ bản  Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm a1, a2 ,..., an (n  2) ta luôn có a1  a2    ...