Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Mục tiêu của luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- PHẠM LAN PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNHELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2015Mục lụcMở đầu 31 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 7 1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Định nghĩa phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω) . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 12 1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.3 Định lý Fredholm trong không gian Banach . . . . . . . . . 12 1.5.4 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 132 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 14 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet . . . . . . . . 14 2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . 25 2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 28 1MỤC LỤC 2.3.1 Đánh giá max |u| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ω 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω0 và ||u||W 2,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω) . . . . . . 45 2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α (Ω) . 47Kết luận 48Tài liệu tham khảo 49 2MỞ ĐẦU Đối với một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta đã nghiên cứutính giải được của bài toán Dirichlet. Đối với phương trình elliptic dạng bảotoàn, người ta đã đưa được nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω)và chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Đối với các phương trìnhelliptic dạng không bảo toàn, người ta đã đưa vào các lớp nghiệm cổ điển trongkhông gian Holder C 2,β (Ω) và cũng chứng minh được sự tồn tại và tính trơn củanghiệm. Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải đượccủa bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sangtrường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn củaPGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic.Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev,Holder, các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tínhtrong không gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn,trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Vớihệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suyrộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu và chứng minh tính giải đượcF ...