Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về các nguyên lý biến phân

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí biến phân này. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 - Kiến thức chuẩn bị, Chương 2 - Nguyên lí biến phân Ekeland, Chương 3 - Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác. Sau đây là tóm tắt của luận văn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về các nguyên lý biến phân ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- HOÀNG THỊ MẤNVỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015Mục lụcMở đầu 31 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Nguyên lí biến phân Ekeland 15 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng 23 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ . . . . . . . . . . 293 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác 36 3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . 36 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . . 38 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) . . . . . . . . . 41 3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Re- finement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk . . . . . . . . . . 483.4 Một số nguyên lí biến phân khác . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss . . . . . . . . . 51 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . . . . . . . . . . . 54KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2Mở đầu Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle,viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất củagiải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua.Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng,nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trêntập đó. Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cựctrị. Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, taluôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε. X X Vào năm 1974, Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửaliên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đủ X thì với mọi điểmε− xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm xˆ là cực tiểu chặt của hàmnhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ x) ≤ f (x). Không những thế, ta cóthể còn đánh giá được khoảng cách giữa x ˆ và x .Sau khi ra đ ...