Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Parabolic liên quan đến sự xuyến thấu của từ trường trong một vật chất

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Parabolic liên quan đến sự xuyến thấu của từ trường trong một vật chất trình bày một số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm; sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Parabolic liên quan đến sự xuyến thấu của từ trường trong một vật chất BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trương Văn ChínhBÀI TOÁN PARABOLIC LIÊN QUAN ĐẾN SỰ XUYẾN THẤU CỦA TỪ TRƯỜNG TRONG MỘT VẬT CHẤTChuyên ngành: Toán Giải tíchMã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến ThầyNguyễn Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọikhó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc.Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán–Tinhọc, trường Đại Học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoahọc Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiếnthức cũng như các hỗ trợ khác về tinh thần và tư liệu cho tôi trong suốt thờigian học tập và làm việc.Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học,Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trườngĐại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên,tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập.Chân thành cảm ơn Quí Thầy Nguyễn Bích Huy, Trần Minh Thuyết đã đọcvà đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi.Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tíchkhóa 15 đã luôn động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luậnvăn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏithiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thànhcủa các bạn bè đồng nghiệp. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2007. Trương Văn Chính. MỞ ĐẦU Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau:(0.1) u t  A  u   F(x,u)  f (x, t), (x, t)  x(0,T),(0.2) u  0 trong x(0,T),(0.3) u(x,0)=uo (x),trong đó     u  N  t  0 u(x, ) d 2  A(u)   a ,  i 1 x i  x i(0.4)  1   N u 2  2  u     ,   x  i1 i  là một miền mở, bị chận trong N có biên đủ trơn . Các giả thiết trêncác hàm a, F, f và uo cần thiết sẽ được chỉ rõ ra sau đó. Bài toán này đã đượcxét bởi Laptev [4] với f=0, F=0 mà ý nghĩa của nó là sự xuyên thấu của từtrường vào vật chất. Để mô tả hiện tượng được sinh ra trong vật dẫn được đặttrong một từ trường thay đổi bên ngoài, trong trường hợp xấp xỉ á dừng,Laptev [4] đã đề nghị hệ phương trình dưới đây B c 2 1(0.5)  rot[ rot H], div B=0, t 4 ở đây H, B lần lượt là cường độ và cảm ứng từ trường,  là suất dẫn điện củavật chất và hằng số c là vận tốc của ánh sáng trong chân không. Ta thu đượcphương trình thứ nhất của (0.5) bởi việc khử E từ hệ:  1 B  rot E   , div B  0, c t(0.6)  rot E  4 j, j  E.  c Xuyên thấu vào vật chất, sự biến thiên của từ trường bên ngoài sinh ratrong vật chất một điện trường biến thiên có cường độ E. Đây là nguyên nhânxuất hiện một dòng điện có mật độ j. Dòng điện sinh ra nhiệt trong vật chất vàcó nhiệt độ trong đó là , phụ thuộc vào suất dẫn điện . Giả sử rằng suấtdẫn điện       phụ thuộc vào nhiệt độ , ta thêm vào (0.5) phương trìnhgây ra nhiệt nhờ sự nóng lên của Joule:  1 2(0.7) Cv  j, t trong đó C v là nhiệt dung của vật chất mà trong trường hợp tổng quát cũngphụ thuộc vào nhiệt độ . Để hệ đơn giản ta sẽ giả sử rằng độ thấm từ   1và B=H. Do đó, dựa vào định luật j  E và từ (0.6), hệ (0.5), (0.7) được viếttheo dạng dưới đây: H c 2(0.8)  rot[()rot H], div H=0, t 4 2  c(0.9) C v ()  () rot H , t 4 1trong đó ta đặt      . Hệ (0.8), (0.9) bỏ qua một số các hiệu ứng vật   lý, chẳng hạn như tính dẫn nhiệt của môi trường và sự tác động của bên ngoài.Tuy nhiên, theo quan điểm toán học, nó luôn làm phức tạp thêm trong việctrình bày, do đó ta chỉ cần xét (0.8), (0.9). Laptev biến đổi (0.8), (0.9) thành một phương trình bởi hàm s(  ) dướiđây: Cv    (0.10) s     d.   o   Để đơn giản ta giả sử quá trình bắt đầu lúc t = 0 và nhiệt độ trong vậtchất lúc đó tương ứng với hằng số o . Chia (0.9) cho     . Khi đó, từ (0.10) ta suy ra: C     ...