Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(F) của đường cong Elliptic không kỳ dị E trên F, mô tả các điểm hữu tỷ trên một số lớp đường cong Elliptic, phương pháp chứng minh một số định lý mô tả cách xác định các đối tượng đã liệt kê ở trên đối với các họ đường cong được xét.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH LA HỒNG NGỌC CÁC ĐIỂM HỮU TỶ TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN.Chuyên ngành: Hình học và tôpô.Mã số: 604610 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Tiến sĩ Phan Dân Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tớiThầy - TS. Phan Dân - người đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đềtài: từ việc gợi ý, cung cấp các tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện, truyềnđạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoànchỉnh nội dung của bài luận. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học, khoa Toán - Tin củaTrường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần củaKhóa học giúp tôi nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học tập hữuích, giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Khoa học Công Nghệ Sau Đại học, phòng Tổchức Hành chính, phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh;Cảm ơn Sở Giáo Dục-Đào Tạo Tiền Giang, Ban Giám Hiệu trường THPT Bình Đông thị xã GòCông tỉnh Tiền Giang cùng toàn thể quý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã độngviên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Chân thành cảm ơn! Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010. Tác giả La Hồng Ngọc. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆUAn Không gian afin n-chiều.D Biệt thức của đa thức bậc 3.deg Bậc của đường cong phẳng.E(k) Tập điểm hữu tỷ của đường cong elliptic E trên trường k.E(Fp) Tập hợp các điểm hữu tỷ của E trên trường Fq.#E(Fp) Cấp của E(Fp).| Ek  Cr 2 | Số các điểm chung của đường cong elliptic và họ đường tròn.q Trường hữu hạn q phần tử.Ga Nhóm cộng tính.Gm Nhóm nhân. (a)Gm Nhóm xoắn.G(k) Nhóm các điểm hữu tỷ.gcd( ) Ước số chung lớn nhất.(X) Ideal triệt tiêu của X.k[x1, …, xn] Vành đa thức trên k với n biến.k[ X ] Trường các hàm hữu tỷ trên X.Np(f(x)) Số nghiệm của phương trình đồng dư f ( x )  0(mod p) .N(p) Số cặp của các thặng dư bậc 2 modulo p liên tiếp trong Fp. *N(p) Số cặp của các số nguyên liên tiếp trong Fp.(X) Vành các hàm chính quy trên X.Pn Không gian xạ ảnh n-chiều (trên trường k đóng đại số).Qp Tập hợp các thặng dư bậc 2 modulo p.T(A) Nhóm con xoắn của A..  Tổng trực tiếp.X(k) Tập tất cả các điểm k-hữu tỷ trên X. MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Trong lý thuyết các đường cong Elliptic, vấn đề về số các điểm hữu tỷ trên các đường congvà cách xác định các điểm đó là một trong những vấn đề hết sức quan trọng. Đối với cấu trúc củanhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên Q cũng như tính chất của các điểm xoắntrên chúng (được mô tả qua các Định lý Mordell-Weil, Mazur và Nagell-Lutz) là những kết quả rấtđẹp nhưng chủ yếu mang ý nghĩa về mặt lý thuyết, bởi vì trong thực tế việc xác định các đối tượngđã được mô tả cũng không đơn giản (đối với trường hợp tổng quát), thậm chí ngay cả trường hợpchỉ xét các đường cong trên trường hữu hạn thì tập các điểm hữu tỷ như vậy cũng chỉ có lực lượnghữu hạn và có cấu trúc nhóm nhưng việc tính toán cũng không dễ dàng. Một mặt khác, trong thờigian gần đây lý thuyết về các đường cong Elliptic không còn là lĩnh vực nghiên cứu riêng của cácnhà Hình học hay các nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực Hình học Đại số. Một trong những ứng dụngđược quan tâm phát triển rất mạnh hiện nay là “sử dụng các kết quả nghiên cứu về đường congelliptic trên trường hữu hạn vào lĩnh vực bảo mật, mã hoá thông tin”. Vì vậy, có một vấn đề tiếptheo được đặt ra rất tự nhiên là thử tìm hướng tiếp cận đến một số thuật toán tính toán để xác địnhcác điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tiếp cận và giớithiệu một số kiến thức chuyên môn về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn”cùng với việc xét tính chất của một số họ đường cong cụ thể để thực hiện việc mô tả cấu trúc củanhóm các điểm hữu tỷ trên chúng và xây dựng thuật toán tính toán tương ứng. Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn được môtả dưới dạng Weierstrass. Vì vậy, luận văn có tên gọi là:“Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu hạn”.2. Lịch sử của vấn đề Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong Luậnvăn dựa trên một số kết quả sau đây: a) Định lý Hasse mô tả cận trên của lực lượng nhóm E(Fq) của đường cong elliptic trên trường hữu hạn Fq. b) Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm trên nhóm các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu hạn . c) Các kết quả mô tả về các nhóm abel hữu hạn sinh. Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các điểm hữutỷ trên một số họ đường cong trên trường Fq được cho dưới dạng Weierstrass:y 2 = x 3 + Ax + B . Tr ...