Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Hahn – Banach và ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Hahn – Banach và ứng dụng gồm có 3 chương trong đó, chương 1 - Một số kiến thức cơ bản; chương 2 - Định lý Hahn – Banach; chương 3 - Một số ứng dụng của định lý Hahn – Banach. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Hahn – Banach và ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________ Phạm Anh QuangĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP. Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________ Phạm Anh QuangĐỊNH LÝ HAHN – BANACH VÀ ỨNG DỤNGChuyên ngành : Toán giải tíchMã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẬU THẾ CẤP TP. Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, em xin bày tỏ sự biết ơn của mình đến PGS. TS.Đậu Thế Cấp, người thầy, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoànthành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô đã hướng dẫn, giảng dạy vàtruyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình đào tạo. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp đã có nhữngý kiến đóng góp cho luận văn này. MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcMỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Tập hợp .................................................................................................... 2 1.2. Không gian vectơ ..................................................................................... 3 1.3. Không gian tôpô ....................................................................................... 4 1.4. Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương ............................. 5 1.5. Chuẩn – Không gian định chuẩn .............................................................. 6 1.6. Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp ............................................... 6Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 2.1. Sơ chuẩn và nửa chuẩn ........................................................................... 10 2.2. Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng ................................................... 11 2.3. Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi ............................................. 20 2.4. Định lý Hahn – Banach dạng hình học ................................................... 23Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH 3.1. Bất đẳng thức không tương thích............................................................. 31 3.2. Hàm liên hợp............................................................................................ 38 3.3. Các định lý đối ngẫu ............................................................................... 42 3.4. Bài toán cực trị ........................................................................................ 47 KẾT LUẬN .................................................................................................. 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 57 MỞ ÐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nếu không có định lý Hahn – Banach thì cấu trúc của giáo trình Giải tích hàmrất khác so với ngày nay như ta đã biết. Định lý Hahn – Banach là một trong bađịnh lý quan trọng và cơ bản nhất của Giải tích hàm, là định lý mạnh về sự tồntại mà dạng của nó đặc biệt thích hợp những vấn đề tuyến tính với một lượng lớnứng dụng thực tiễn quan trọng. Định lý Hahn – Banach là một định lý rất đượccác nhà Giải tích học ưa chuộng. Mục đích của luận văn là trình bày hai lớp địnhlý được biết rộng rãi có tên là Định lý Hahn – Banach dưới dạng mở rộng (dạnggiải tích) và Định lý Hahn – Banach dưới dạng tách – dạng hình học, và chúngđều khẳng định chắc chắn sự tồn tại của một phiếm hàm tuyến tính cùng vớinhững đặc tính nào đó. Cả hai dạng của định lý Hahn – Banach tương đươngnhau về mặt toán học. Phần cuối của luận văn trình bày một số áp dụng của địnhlý Hahn – Banach trong lý thuyết đối ngẫu và bài toán cực trị. Chúng tôi chọn đềtài này để tìm hiểu sâu về định lý Hahn – Banach. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu các dạng định lý Hahn – Banach, xem xét một số ứng dụng của nó. 3. Đối tượng nghiên cứu Định lý Hahn – Banach. 4. Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết hàm và giải tích hàm. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về định lý Hahn –Banach. Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1. Tập hợp Cho các tập X và Y, ta gọi tích Descartes của X và Y là tập X  Y   x, y  :x  X, y  Y . Tích Descartes X  X , ký hiệu là X 2 , được gọi là bình phươngDescartes của X. Ta gọi một tập con S của X  Y là một quan hệ trên X và Y; một tập con củaX 2 là một quan hệ trên X. Nếu S là một quan hệ thì thay cho cách viết  x, y   Sta sẽ viết là xSy. Quan hệ S trên X gọi là: Có tính chất phản xạ nếu mọi x  X đều có xSx; Có tính chất đối xứng nếu mọi x, y  X , xSy thì ySx; Có tính chất phản xứng nếu mọi x, y  X , xSy và ySx thì x  y ; Có tính chất bắc cầu nếu mọi x, y, z  X , xSy và ySz thì xSz. Quan hệ S trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các tính chất phản xạ,phản xứng và bắc cầu. Nếu S là quan hệ thứ tự thì thay cho cách viết xSy ta sẽviết x  y và viết x  y nếu x  y và x  y . Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là tập được sắp. Nếu mọi x, y  Xta đều có x  y hoặc y  x thì X được gọi là sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần).Trong trường hợp khác thì X gọi là sắp bộ phận. Phần tử a  X gọi là phần tử tối đại (tối tiểu) nếu mọi x  X , a  x (x  a) thìx a. Cho E là một tập con của X. Phần tử a  X gọi là biên trên (dưới) của E nếux  a (a  x) với mọi x  E . Nếu a là biên trên (dưới) ...