Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach trình bày về hàm tử Ext trong phạm trù môđun; không gian định chuẩn và không gian Banach; phạm trù các không gian Banach; hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh XuânXÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh XuânXÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 -1- LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học SưPhạm Tp. Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trìnhhoàn thành luận văn này lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại học Sư PhạmTp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họccũng như tìm tòi các tài liệu nghiên cứu. Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rấtmong được sự chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các bạn. -2- MỤC LỤC TrangMỤC LỤC ...............................................................................................................................................2MỞ ĐẦU .................................................................................................................................................3CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..........................................................................................4 §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN .................................................................4 §2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH ................................... 12 §3. PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH .................................................................. 16CHƯƠNG 2: HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH ...... 24 §1. PHÂN LỚP CÁC DÃY KHỚP NGẮN .............................................................................. 24 §2 TÍCH DÃY KHỚP NGẮN VỚI CÁC CẤU XẠ ................................................................. 28 §3 CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C,A) ..................................................................... 48 §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH. ............................................................................................................................................................56KẾT LUẬN .......................................................................................................................................... 61TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................. 62 -3- MỞ ĐẦU Trong cuốn Homology, bằng việc tính toán cụ thể trên các phần tử,Saunders MacLane đã xây dựng được hàm tử Ext trong phạm trù môđun. Bâygiờ nếu ta thay phạm trù môđun bởi phạm trù các không gian Banach thì liệurằng ta có thể xây dựng được hàm tử Ext trong đó hay không? Với ý tưởngnày, chúng tôi đã cố gắng phân tích, đánh giá con đường chứng minh củaMacLane dưới góc độ của phạm trù và tìm cách chứng minh các kết quả đótrong phạm trù các không gian Banach và đó cũng là mục đích chính của cuốnluận văn này.Bố cục luận văn chia làm ba chương:♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một cách khái quát con đường xâydựng hàm tử Ext trong phạm trù môđun qua đó lấy làm cơ sở cho việc xâydựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach. Xây dựng phạm trù các không gian Banach và trình bày một số kết quả liênquan tới cấu trúc của không gian Banach cùng với các ánh xạ tuyến tính trênđó.♦ Chương 2: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach Dựa trên cơ sở phép tính Berơ, vốn đã được trình bày trong lý thuyếtmôđun. Chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả được xem là tương tự như tronglý thuyết môđun, dẫu vậy, việc chứng minh có phần phức tạp hơn về những đặctrưng riêng của phạm trù đang xét. -4- CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN Giả sử A và C là các môđun trái trên vành R. Ta gọi ...