Luận văn Thạc sĩ Toán học: Functional Calculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt

Một toán tử quạt (sectorial operator) A có phổ của nó chứa trong hình quạt Sω với số kλR (λ, A)k bị chặn đều bên ngoài hình quạt lớn hơn. Các toán tử này đóng vai trò nổi bật trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng elliptic và parabolic. Vào những năm 1960, các toán tử bậc phân số (fractional powers) Aα (với α ∈ C) của toán tử quạt A được định nghĩa. Mời các bạn cùng tìm hiểu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Functional Calculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là luận văn tốt nghiệp do chính tôi thực hiện dưới sựhướng dẫn khoa học của TS. Trần Trí Dũng. Các nội dung nghiên cứu và kếtquả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tàiliệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP LỜI CẢM ƠN Hai năm qua thật sự là khoảng thời gian không hề dễ dàng đối các bạn sinhviên mới ra trường khi phải cố gắng hoàn thành tốt các nhiệm vụ ở cơ quan vàcông việc học tập, kể cả tôi. Có thời điểm công việc nhiều đến nỗi tưởng chừngsẽ không thể tiếp tục con đường học vấn. Nhưng, Khó khăn rồi sẽ qua đi. Giốngnhư cơn mưa ngoài cửa sổ, có tầm tã cỡ nào rồi cuối cùng cũng sẽ trời quangmây tạnh. Để vượt qua những khó khăn ấy, trên con đường tôi đi luôn có sựđồng hành của gia đình, Thầy Cô và bạn bè. Tại trường Đại học Sư Phạm TP. HCM, tôi được học tập rất nhiều điều bổích về chuyên môn, và đôi lúc được mở mang thêm về những kiến thức xã hội.Trên hết, tôi cảm nhận được sự nhiệt tình, tận tâm của các Thầy Cô giảng viên,các Thầy Cô ở phòng sau đại học, đội ngũ nhân viên của trường nói chung vàcác Thầy Cô khoa Toán - Tin học nói riêng. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thànhđến các Thầy Cô vì sự nhiệt tình, tận tâm này. Thời gian thực hiện luận văn có lẽ là thời gian khó khăn và đầy áp lực đốivới riêng tôi. Nhưng may mắn thay, bên tôi luôn có sự ủng hộ, động viên của giađình, người thân và bạn bè. Cảm ơn Cha, Mẹ, Anh em trai là chỗ dựa tinh thầnvững chắc, luôn bên tôi những lúc khó khăn, bế tắc nhất của cuộc đời. Cảm ơncác bạn của tôi đã ngồi nghe những tâm sự nhàm chán, đã để tôi giải tỏa nhữngcăng thẳng mà không phải do mình gây ra. Cảm ơn các anh chị, bạn bè đồngmôn đã cùng tôi bước qua hai năm học đầy gian nan và nhiều thử thách. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô ở trường THPT Chuyên TiềnGiang đã luôn tạo điều kiện tốt nhất để tôi tiếp tục con đường học vấn. Cảmơn Thầy Nguyễn Trọng Nghĩa với những lời dạy, kinh nghiệm vô cùng quý báuvề cách viết và bảo vệ luận văn. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vàchân thành nhất đến Thầy hướng dẫn khoa học, TS. Trần Trí Dũng, giảng viênkhoa Toán - Tin học, trường Đại học Sư Phạm TP. HCM đã tận tình hướngdẫn, có những định hướng, góp ý vô cùng quý báu để tôi có thể điều chỉnh luậnvăn kịp thời. Nhân đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tác giả của những tàiliệu đã tham khảo. Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã dành nhiều nỗ lực, tâm huyết và hếtsức nghiêm túc trong nghiên cứu. Tuy nhiên, đề tài này thật sự mới mẻ và donhững hạn chế về mặt kiến thức, thời gian cũng như khả năng tiếp cận nguồntư liệu, luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ýcủa quý Thầy Cô và các bạn đồng môn. Một lần nữa, xin cảm ơn tất cả mọi người, chúc mọi người thật nhiều sứckhỏe và thành công trong cuộc sống! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆPMục lụcMở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Tổng trực tiếp của các không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Toán tử không bị chặn 10 2.1 Toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Functional calculus cho toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Functional calculus cho toán tử quạt 16 3.1 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Không gian các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 The natural functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy . . . . . . . 30 3.3.2 The natural functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Một số tính chất khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.4 Luật hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Sự mở rộng thông qua điều kiện phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.1 Trường hợp A đơn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.2 Trường hợp 0 ∈ ρ(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Tính bị chặn và xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.1 Xấp xỉ quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.2 Tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.3 Tính xấp xỉ của các hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.4 Kỹ thuật xấp xỉ của McIntosh . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6 Tính bị chặn của ...