Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng các L-hàm P-adic

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng các L-hàm P-adic giới thiệu tới các bạn những nội dung về đại số V giải tích P-adic; hệ số Bernoulli và L-hàm phức; xây dựng L-hàm P-adic và một số nội dung khác. Luận văn phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng các L-hàm P-adic BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------oOo -------------- CAO TRẦN TỨ HẢI XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADICChuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS. MỴ VINH QUANG LỜI Thành phốNÓI ĐẦU Hồ Chí Minh – 2009 LỜI NÓI ĐẦU Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adicchỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng40 năm trở lại đây. Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện nhữngmối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hìnhhọc đại số. Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của cácdạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổitiếng. Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quantrọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các L-hàm p-adic”. Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xâydựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của cácL-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s  2. Về bố cục, luận văn được chia làm ba chương. Chương 1. Đại số và giải tích p-adic. Trình bày các bước xây dựng trường sốp-adic p , nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệmđại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mởnào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic. Chương 2. Hệ số Bernoulli và L-hàm phức. Bao gồm hai §. §1 trình bày về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm về đặc trưngDirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quátliên kết với các đặc trưng Dirichlet. §2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet ,nêu một số tính chất cơ bản của L-hàm phức như : phương trình đặc trưng của L- B n ,hàm phức, thặng dư của F ( z) z  n 1 tại z = 0, công thức L(1  n , )   với nn  1 và giá trị của L-hàm tại s = 1. Từ đó suy ra giá trị các hệ số Bernoulli tổngquát và tính chất của hàm zeta. Chương 3. Xây dựng L-hàm p-adic. Đây là chương quan trọng nhất của luậnvăn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàmp-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và giá trị của nó tại s = 1 dựatheoIwasawa, đặc biệt chúng tôi đã tính giá trị L-hàm p-adic tại các điểm nguyêndương bằng cách sử dụng - biến đổi của một hàm số. Cụ thể chương III gồm năm§. §1. Phép nội suy hàm phân hình p-adic. Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để mộtdãy số p-adic trong p có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic. Bn, §2. L-hàm p-adic. Như ta đã biết L(1  n, )    () là các số đại số ntrên  nên ta xem chúng thuộc  p . Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình Bn,p-adic f sao cho f(1  n)    L(1  n, ) , n  0 hay không ? Rất tiếc dãy n Bn,   không phải là dãy nội suy p-adic. Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một n chút để có được dãy nội suy p-adic. Trong § này chúng tôi chứng minh dãy   với b n  1   n (p)p B n , ,  n   là dãy nội suy bn  n 1 n p-adic. Do n bnđó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả L p (1  n,  )   được gọi là L- hàm p-adic nliên kết với đăc trưng . §3. Toán tử – biến đổi. Xây dựng – biến đổi và một số tính chất của nó.– biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L – hàmp-adic tại các điểm nguyên dương. §4. Công thức tính L p (1, ) . Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1. §5. Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương. Xây dựngchi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tạicác số nguyên s  2. Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót.Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồngnghiệp. Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sưphạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quátrình học tập. Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang đãtrực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu. Tp.HCM, ngày 01/06/2009 Người thực hiện Cao Trần Tứ Hải CHƯƠNG 1. ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC. Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số v giảitích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3). §1. CÁC TRƯỜNG SỐ p-ADIC.1.1.1. Trường số p-adic. Cho trước số nguyên tố p, mọi x   \ 0 đều có thể phân tích được dưới dạngx  p p11 p2 2 ..pk k trong đó p,p1 ,p2 ,...,p k là các số nguyên tố phân biệt và, 1,...,  k   .  được gọi là chỉ số p-dic của x, kí hiệu   ord ...