Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt đưa ra lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình P-adic; phương trình vi phân đại số P-adic; điểm bất động của hàm nguyên P-adic.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________ Lê Văn VĩnhChuyên ngành : Đại số và lý thuyết sốMã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BẢNG KÍ HIỆU p : Trường số p-adic. p : Bao đóng đại số của p . p : Trường đầy đủ hóa của p ..p : Giá trị tuyệt đối p-adic.ord p  z  : Chỉ số mũ của z . : Bán kính hội tụ.B  : Quả cầu mở tâm 0 bán kính  .B r  : Quả cầu đóng tâm 0 bán kính  .  r, f  : Số hạng cực đại.  r, f  : Chỉ số tâm.  1n  r,  : Số không điểm của f (kể cả bội) với trị tuyệt đối  r  f   1N  r,  : Hàm trị của f đối với 0.  f   1n  r,  : Số không điểm của f (không kể bội) với trị tuyệt đối  r .  f   1  1N  r,  : Hàm trị của f tương ứng với n  r ,  đối với 0.  f   f m  r, f  : Hàm bù của f .T  r, f  : Hàm đặc trưng của f . p z : Trường các hàm hữu tỉ trên p .O 1 : Đại lượng bị chặn.O f  : Đại lượng bị chặn so với f .o f  : Đại lượng vô cùng bé đối với f . MỞ ÐẦU Gần đây, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lĩnh vực toán họcnăng động. Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [6] đã chứng minh tương tự p-adic của hai “định lí chính” và mối quan hệ về số khuyết của lý thuyếtNevanlinna cổ điển. Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, vàđã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát.Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định duy nhất với số phần tử hữu hạncủa các hàm nguyên p-adic. Có hai “định lí chính” và các mối quan hệ về sốkhuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết Nevanlinna. Những kết quảnày đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyếtNevanlinna. Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyếtNevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số. Cụ thể, lý thuyếtNevanlinna được sử dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm là hàm nguyênhay hàm phân hình của phương trình vi phân. Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinnađược sử dụng để chứng minh định lí Malmquist’s và một ví dụ điển hình trong sốcác kết quả của định lí kiểu Malmquist là: “Nếu P  X  và Q  X  là các phần tửnguyên tố cùng nhau trong vành đa thức một biến với hệ số trong trường các P f hàm hữu tỉ theo biến z với hệ số phức và phương trình vi phân f   có Q f một nghiệm phân hình siêu việt f, khi đó Q là một đa thức bậc không theo biến Xvà P có bậc tối đa bằng 2”. Kết quả trên là nền tảng để xây dựng các định lí kiểuMalmquist tổng quát hơn sau này trong giải tích phức. Về sau, các kết quả tronggiải tích phức thường được xây dựng tương tự trong giải tích p-adic; vì vậy, ýtưởng nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình vi phân đại số, đặc biệtlà các kết quả kiểu Malmquist tương tự p-adic là điều tất yếu. Trong luận văn này, tôi đã trình bày các phương trình vi phân đại số p-adicdạng:   z , w, w,..., w n   R  z, w ,Trọng tâm của phần này là tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất nghiệmcủa phương trình vi phân đại số, cụ thể, ta sẽ chỉ ra rằng một số phương trình viphân đại số không có nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận được. Hơn nữa, cáckết quả còn được mở rộng trong các trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn nhưđịnh lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) và nghiên cứu nghiệmchấp nhận được của một số phương trình vi phân cụ thể. Các kết quả này là nộidung trọng tâm của chương 2. Trong chương 3, tôi đã trình bày tương tự p-adic của định lí Baker trong giảitích phức, định lí nghiên cứu điểm bất động của hàm nguyên siêu việt, đó là:“Nếu f là hàm nguyên siêu việt trên p , khi đó f sở hữu vô hạn điểm bất độngcấp n, trừ nhiều nhất một giá trị của n”. Chương 1: LÝ THUYẾT NEVANLINNA CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADICTrong chương này, tôi sẽ trình bày các kết quả quan trọng và cần thiết của lý thuyếtNevanlinna của hàm phân hình p-adic, các kiến thức này sẽ bổ trợ cho phần trọngtâm của luận ...