Luyện thi Đại học 2013 - Tính đơn điệu của hàm số

Đây là tài liệu ôn thi Đại học về tính đơn điệu của hàm số do các bạn và các thầy VMF biên soạn và đã sữa chữa. Bài viết rất dễ hiểu, lí thuyết cụ thể bao gồm nhiều bài tập từ các đề thi Đại học giúp cho các e học sinh dễ dàng đạt được điểm cao trong kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi Đại học 2013 - Tính đơn điệu của hàm sốHttp://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013V n 1: Tính ơn i u c a hàm sTrong thi các em g p v n này các bài toán ch ng h n như: 1Bài toán: Cho hàm s : y = x 3 + ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3 ) x − 5 . Tìm m hàm s ng bi n trên trên ( 2,3) . 3 làm ư c bài toán này c n hi u ư c: - ng bi n là gì? - làm bài toán này c n th c hi n công vi c gì?A – Lý thuy t- nh nghĩa:Kí hi u: K là m t kho ng ho c m t o n, ho c n a kho ng và hàm s (C): y = f ( x ) xác nh trên K.Hàm s y = f ( x ) ư c g i là ng bi n trên K n u x tăng thì y tăng mà x gi m thì y gi m, t c là: ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .Ngư c l i, (C) ư c g i là ngh ch bi n trên K n u x tăng thì y gi m mà x gi m thì y tăng, t c là: ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .(C) ng bi n ho c ngh ch bi n trên K thì ta nói chung là (C) ơn i u trên K.Chú ý: K là m t kho ng ho c m t o n, ho c n a kho ng.- nh lý: (Cách xét tính ơn i u c a hàm s ):Cho hàm s (C): y = f ( x ) có o hàm trên K:- (C) ng bi n trên K ⇔ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K và ch b ng 0 t i h u h n i m thu c K.- (C) ngh ch bi n trên K ⇔ f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K và ch b ng 0 t i h u h n i m thu c K.Nh n xét:1. Vi c xét tính ơn i u c a hàm s ư c quy v vi c xét d u bi u th c o hàm c a nó!2. V i 3 lo i hàm ta xét, có th b i u ki n “b ng 0 t i h u h n i m thu c K”3. Trong ba lo i hàm:Hàm a th c b c 3: y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y = 3ax 2 + 2bx + c ( a ≠ 0 )Hàm a th c b c 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c ⇒ y = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) ( a ≠ 0 )Hàm a th c b c nh t trên b c nh t: ax + b ad − bc y= ⇒ y = 2 (d u không ph thu c vào bi n x) cx + d ( cx + d )Thì vi c xét d u bi u th c o hàm y’ ho c là r t ơn gi n ho c là quy v bài toán tam th c b c 2Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhanspHttp://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013B – M t s ví d :B t u v i m t ví d ơn gi n và các em c n chú ý cách trình bàyVí d 1: Xét tính ơn i u c a hàm s sau: 1 1 y = x 3 − x 2 − 2 x + 2. 3 2LG:TX : D = »  x = −1Ta có: y = x 2 − x − 2 , y = 0 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔  x = 2B ng xét d u y’: x −∞ -1 2 +∞ y’ + 0 - 0 +K t lu n: - Hàm s ngh ch bi n trên ( −1; 2 ) - Hàm s ng bi n trên ( −∞; −1) và ( 2; +∞ )Chú ý: Khi k t lu n tính ơn i u các em không ư c vi t ch ng h n:“Hàm s ngh ch bi n trên ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) ”, ho c “hàm s ng bi n ∀x ≠ a ”, ho c “ ng bi n trên t pxác nh”Vi t như th là sai v b n ch t, n u y > 0, ∀x ≠ a thì ta k t lu n: hàm s ng bi n trên ( −∞; a ) và ( a; +∞ ) mx + 4Ví d 2: Cho hàm s : y = x+mTìm m hàm s ngh ch bi n trên ( −1;1) .Phân tích:- Nh n d ng, thu c d ng xét tính ơn i u, như v y c n tính y’ và xét d u y’- ây là hàm phân th c b c nh t trên b c nh t, o hàm c a nó có d u không ph thu c vào x, t c lày > 0, ∀x ∈ D ho c y < 0, ∀x ∈ D , như v y v i i u ki n u tiên “hàm ngh ch bi n” ta c n: m2 − 4y= 2 < 0 ⇔ m2 − 4 < 0 ( x + m)- Khi ó ta có hàm s ngh ch bi n trên ( −∞; − m ) và ( − m; +∞ )- V y làm th nào có hàm ngh ch bi n trên ( −1;1) ? T t nh t các em th c hi n vi c xét v trí tương ic a ba i m 1, −1, − m trên tr c s các em s nh n ra ư c th a mãn i u ki n này thì − m ph i n m ngoài2 i m −1 và 1, t c là − m ∉ ( −1;1) ⇔ m ∉ ( −1;1) .Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhanspHttp://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013T ó các em có l i gi i:TX : D = » \ {− m} m2 − 4 y= 2 ( x + m) m 2 − 4 < 0  hàm s ngh ch bi n trên ( −1;1) thì y < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔  ⇔ m ∈ ( −2; −1] ∪ [1; 2 ) − m ∉ ( −1;1) V y v i m ∈ ( −2; −1] ∪ [1; 2 ) thì th a mãn i u ki n bàiVí d 3: Cho hàm s : 1 ...