LUYỆN THI ĐẠI HỌC: BẤT ĐẲNG THỨC

Tài liệu tham khảo được trích từ các trang web chuyên ôn luyện vào Đại học cho các bạn học sinh Phổ thông có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao vào các trường Cao đẳng, Đại học
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC: BẤT ĐẲNG THỨC www.MATHVN.com BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ (Chuyên đề LTĐH 2011) Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phươngpháp đánh giá.I.Sử dụng một số BĐT cơ bản: Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì:a1 ; a2 ;...an ( n ³ 2) ta luôn có:a1 + a2 + ... + an n ³ a1a2 ...an ( I ) ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: na1 = a2 = ... = an . BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ( a1 ; a2 ;...an ),(b1 ; b2 ;...bn ) ta luôn có:( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 £ ( a12 + a2 + ... + an )(b12 + b22 + ... + bn )( II ) ; dấu bằng 2 2 2xảy ra khi và chỉ a a1 a2 = ... = n . BĐT: a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca ( III ) ; dấu bằng xảy ra =Khi: b1 b2 bnkhi a = b = c. n2 11 1 + + ... + ³BĐT: ( IV ) ; trong đó a1 , a2 ,...an là các số an a1 + a2 + ... + an a1 a2dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau.Bài 1: Cho a > b > 0 . Chứng minh: 1 4 1a/a + ³ 3; b / a + ³ 3; c / a + ³ 2 2. b( a - b) (a - b)(b + 1) b( a - b) 2 2 1 1Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b + (a - b) + ³ 3 3 b.(a - b). =3 b( a - b) b( a - b)(đpcm).Dấu bằng xảy ra khi b = 1; a = 2.Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: a b - 1 + b a - 1 £ ab.www.mathvn.com 1 www.MATHVN.com (b - 1) + 1 abGiải: Theo BĐT (I) ta có: a b - 1 = a (b - 1).1 £ a. = ; tương tự ta 2 2cũng có: abb a -1 £ . Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra 2khi a = b = 2.Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh:ab + bc + ca - abc £ 8 / 27 . (1 - a ) + (1 - b) + (1 - c) 2 (1 - a )(1 - b)(1 - c) £ =Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 3 3Û 1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc = ab + bc + ca - abc £ 8 / 27 (đpcm). Dấubằng xảy ra khia = b = c =1/3.Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh:a 3 + b3 + c 3 ³ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab . () 34Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4a + b + c ³ 6 6 a b3c 3 = 6a 2 bc ; tương tự ta 3 3 3cũng có:4b3 + c 3 + a 3 ³ 6b 2 ca ;4c 3 + a 3 + b3 ³ 6c 2 ab cộng các vế của các BĐT này lạirồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: ( x + y + z )6 / xy 2 z 3 ³ 432 .Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức P = ( x + y )9 / x 3 y 6 trong đó x,y là các số dương.Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( x + y )9 3 6 æxö æ yö 99 39 x yx + y = 3. + 6. ³ 9. ç ÷ ç ÷ Û P = 3 6 ³ 3 6 = 6 9 è3ø è6ø 3 6 xy 36 2 9 6 Vậy GTNN của P bằng 3 / 2 khi y = 2x.Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a 6 + b6 + c 6 = 3 . Hãy tìm GTLN củabiểu thức S = a + b + c 2 2 2Giải: Theo BĐT (I) ta có:a 6 + 1 + 1 ³ 3a 2 ; b 6 + 1 + 1 ³ 3b 2 ; c 6 + 1 + 1 ³ 3c 2 Þ 9 ³ 3S Û 3 ³ S Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 £ x £ 3;0 £ y £ 4 . Tìm GTLNcủa biểu thức:www.mathvn.com 2 www.MATHVN.comA = (3 - x)(4 - y )(2 x + 3 y ) .Giải: Theo BĐT (I) ta có: (6 - 2 x) + (12 - 3 y ) + (2 x + 3 y ) 2(3 - x).3(4 - y ).(2 x + 3 y ) £ =63 3Û 6 A £ 63 Û A £ 36 . Vậy GTLN của A bằng 36 khi x ...