Lý thuyết Logic Toán: Phần 1

Tài liệu Logic Toán có kết cầu gồm 3 chương. Phần 1 Tài liệu gồm nội dung chương 1 - Đại số mệnh đề và chương 2 - Đại số vị từ. Cuối mỗi chương đều có phần bài tập ôn tập và củng cố kiến thức dành cho các bạn tự ôn tập. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết Tài liệu này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết Logic Toán: Phần 1MỞ DẦU T o á n học là m ộ t khoa học trong đ ó m ọ i c h â n Jý đ ê uđược c h ử n g m i n h b ằ n g suy l u ậ n . Vì the đ ố i v ớ i toánhọc, các ty t h u y ế t v ề ỉogic — p h ư ơ n g t i ệ n đề xây d ự n gcác k i ế n thức t o á n học — c ó giá t r ị l ở n . T r o n g các lý thuyết logic n g ư ờ i ta m ô tả các q u átrình suy l u ậ n v à các q u i luật của sự suy nghĩ c h ơp h é p t ụ t i n h c h â n t h ự c của m ộ t p h á n đ o á n n à y đ ư a ranhụm> k ế t l u â n v ề tính đ ú n g đ ắ n h o á c sai lam của c á cphán đ o á n k h á c m à chỉ d ự a t r ê n d ạ n g của các p h á níÌGán n à y c h ứ k h ô n g l ệ thuộc vào nội dung cụ the cửacác p h ú n đoản đ ó . Chang h ạ n n h ư qui l u ậ t tam đ o ạ n luận, mà c h ú n g larát hay dụpg k h ẳ n g đ ị n h r ằ n g : « T ụ tính c h â n ỉliựe củacác phái? đ o á n « À là c )) v à «B là c)) suy r a í inh đù nơđắn í-ủa pỉián đ o á n « A ỉà c » m à khôn?; phụ thuộc v à ocác c h ữ A , B v à c b i ê u ti)ị các đ ố i t ư ợ n g n à o ) ) . Do mức đ ộ t r ụ u t ư ợ n g x á c đ ị n h của m ì n h , m ỗ i lýthuyết khoa học cần p h ả i sản sinh ra m ộ t h ệ thốngký h i ệ u r i ê n g đ ẽ biêu thị các k h á i n i ệ m và ghi nhậncác k ế t - l u ậ n l ô n g q u á i của n ó . T r o n g logic c ư n g c â n c ó m ộ i hệ thống ký h i ệ u nhuvậy. Việc á p d ụ n g trong logic n h ữ n g k ý h i ệ u riêng (hicho p h é p h ì n h thức hóa cá í/ qui luật c ù a n ó d ư ớ i dạngchung n h á t v à đ ã sản sinh ra n h ữ n g tiền đề đê ứngdụng trong logic nhữỉi£> p h ư ơ n g p h á p toàn học, V ;e đ ó đ ã d ẫ n t ớ i m ộ t sự đ i ề u c h ỉ n h c ă n b á n t r o n g c á c l ý t h u y ế t logic v à l à m nay sinh r a m ộ t l ĩ n h v ự c m ớ i của toán. hoe, đ ó là m ồ n ( d o m e t o á n ) ) . i N g ư ờ i đ a u liên t r o n g lịch sử b ầ y tò Ý (lịnh x ả y d ự n g logic d ự a t r ê n CƯ sở của t o á n học l à G.v. L e p n i t ở c u ố i the kỷ thạ X V I I . Ô n g đ a đ ặ t c ơ sở cho v i ệ c đ ạ i số h ó a logic và v i ệ c x â y d ự n g c á c bệ l o à n logic. ( ( C h ú n g ta sử d ụ n g c á c ký h i ệ u k h ô n g p h a i chỉ là đ ễ d i ễ n đ ạ t sạ suy nghĩ của ta cho n g ư ờ i k h á c m à cả là đ ề đ ơ n g i ả n h ó a c h í n h q u á ( r ì n h suy n g h ĩ của c h ú n g ta )) ( L e p n i l ) . N h ữ n g t h à n h q u ả t i ế p theo t r o n g sự p h á t t r i ề n của logic t o á n gắn l i ề n v ớ i t ê n t u ổ i của Đ ơ m o o c g a n (1806—1871), Bùn (1815 - Í864), Freghe (1841 - 1902), P o r e x k i (4846 - 19Q7), Preg (1848 - 1925), P i ê e s ơ (1839 - 1914), P ê a n o ( 1 8 5 $ - 1932). L â n đ ầ u tiên logic(.oán đ ư ơ c g i ớ i t h i ệ u n h ư l à m ộ t l ĩ n h v ự c m ớ i của t o á n học ơ t r o n g c ô n g t r ì n h cơ sở của Oaithit v à R a i x e n xi N g u y ê n l ý t o á n học )). V i ệ c ạ n g dụng, l o à n học v à o logic đ à cho la n h ữ n g p h ư ơ n g t i ệ n b ô t r ợ r ấ t t h u ậ n l ợ i (lề t r ì n h b à y các lý t h u y ế t logic v à c ũ n g cho la m ộ t c ồ n g cụ t í n h t o á n đ ẽ g i ả i c á c b à i - t o á n q u á k h ó . N g ư ờ i la đ ã x á c đ ị n h đ ư ợ c T n h ữ n g n g u y ê n l ý x â y d ự n g c á c l ý l h u j ế t logic cho p h é p phát. h i ệ n r a n h ữ n g v ấ n đ ề logic m ớ i v à q u a n t r ò n g , v à n g ư ờ i la c ũ n g đ à m ở r ộ n g l ì n h vực n g h i ê n c ạ u v ẽ logic. Sự p h á t t r i ể n của logic t o á n đ ư ợ c đ ặ t ra d ó c h í n h y ê u c â u của sự p h á t I r i ễ n của t o á n học. T r ê n cơ sở của logic t o á n , sự p h á t t r i ề n của các l ý t h u y ế t t o á n họe c ó t h ề x e m n h ư l à lý t h u y ế t của sự ; suy d i ễ n . tạc l à x e m n h ư c á c l ý Ì h u y ế t l i ê n đ ề c ù n g v ớ i A anhững p h ư ơ n g tiện logic đã được xác định một cáchnghiêm ngặt. Nhờ logic toán n g u ô i ta đà giải quyết được nhiềuvấn đẽ vè lính chất lỗng quái của các JỶ thuyết toánhọc (thí d ụ các vấn đề v ề tính phi mâu thuẫn,, tỉnh đayđủ, tính íịiki được v.v...). Trong việc x â y dạng logic toán n h ư là một khoa họccàn thiết cho sạ phát t r i ề n của toán học, các công trìnhcủa Hinbe, G ơ đ e n , Pôxt, Chơơc, Genxen, C ô n m ô g ô r ô p ,Nôvicôp, Maccốp v.v... đã có nhiều đóng góp l ớ n . T r ê nranh giới giữa đ ạ i số và logic toán đ ã nay sinh ra mộtlý thuyết t o á n học m ớ i — đ ó là lý thuyết m ô hình mảsạ phát t r i ề n của n ó gắn l i ề n v ớ i tên tuổi của Tarxkĩ,Manxep, R o b i n s ơ n . Trong lý thuyết m ô b ì n h , các v á n đ ề quan trọng liênquan đ ế n các hệ thống đ ạ i số tát nhiên sẽ đ ư ợ c p h á tbiêu hếpq n g ô n n g ừ của logic toán v à Cling đ ư ợ c giảiq u y ế t Dằng n h ữ n g p h ư ơ n g t i ệ n của ÌOỊịic t o á n . Nhiềuđịnh lý được chứng minh trong các lĩnh vạc khác nhaucủa đ ạ i số tỏ ra là những t r ư ờ n g h ...