Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2): Phần 2

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2)" tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Phép tính vi phân hàm một biến; Đạo hàm; Vi phân; Phép tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2): Phần 2Chu.o.ng 8Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t e´nbiˆ 8.1 - a.o h` D am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 - a.o h` D a´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 61 am cˆ 8.1.2 - a.o h` D a´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 62 am cˆ 8.2 Vi phˆ an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1 Vi phˆ a´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 an cˆ 8.2.2 Vi phˆ a´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 77 an cˆ 8.3 C´ y co. ba’n vˆ ac di.nh l´ `e h`am kha’ vi. Quy ´ t˘ ac l’Hospital. Cˆ ong th´ u.c Taylor . . . . . . 84 8.3.1 y co. ba’n vˆ ac d i.nh l´ C´ `e h` am kha’ vi . . . . . 84 8.3.2 Khu’. c´ o di.nh. Quy t˘ ac da.ng vˆ ´ ac Lˆopitan (L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆ u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 96 ong th´ http://tieulun.hopto.org - a.o h`am8.1. D 618.1 - a.o h` D am8.1.1 - a.o h` D a´p 1 am cˆGia’ su’. h`am y = f(x) x´ac di.nh trong δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m x0 (U (x0 ; δ) ={x ∈ R : |x − x0 | < δ) v`a ∆f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) l`a sˆo´ gia cu’an´o ta.i diˆe’m x0 tu.o.ng u ´.ng v´o.i sˆo´ gia ∆x = x − x0 cu’a dˆo´i sˆo´. Theo di.nh ngh˜ıa: Nˆe´u tˆ `on ta.i gi´o.i ha.n h˜ u.u ha.n f(x0 + ∆x) − f (x0) lim ∆x→0 ∆xkhi ∆x → 0 th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o..c go.i l`a da.o h` am cu’a h`am f(x) ta.i . . .diˆe’m x0 v`a du o. c chı’ bo’ i mˆo.t trong c´ac k´ y hiˆe.u: f(x0 + ∆x) − f(x0) dy d lim ≡ ≡ f (x) ≡ f 0 (x) ≡ y 0. ∆x→0 ∆x dx dx Da.i lu.o..ng ∆y ∆y f+0 (x0) = f 0 (x0 + 0) = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0+0 ∆x ∆x>0v`a ∆y ∆y f−0 (x0 ) = f 0 (x0 − 0) = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0−0 ∆x ∆x62 Chu.o.ng 8. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n 8.1.2 - a.o h` D a´p cao am cˆ Da.o h`am f 0 (x) du.o..c go.i l`a da.o h` am cˆ a´p 1 (hay da.o h` am bˆ a´t). a.c nhˆ Da.o h`am cu’a f 0 (x) du.o..c go.i l`a da.o h` am cˆ a´p hai (hay da.o h` am th´u. hai) cu’a h`am f (x) v`a du.o..c k´ y hiˆe.u l`a y 00 hay f 00(x). Da.o h`am cu’a f 00 (x) du.o..c go.i l`a da.o h`am cˆ a´p 3 (hay da.o h` am th´u. ba) cu’a h`am f(x) v`a du.o..c k´ y hiˆe.u y 000 hay f 000(x) (hay y (3), f (3)(x) v.v... Ta c´o ba’ng da.o h`am cu’a c´ac h`am so. cˆa´p co. ba’n f(x) f 0 (x) f (n) (x) a(a − 1)(a − 2) · · · (a − n + 1)xa−n , xa axa−1 x>0 ex ex ex ax ax lna ax(lna)n 1 1 lnx (−1)n−1 (n − 1)! n , x > 0 x x 1 1 loga x (−1)n−1 (n − 1)! n , x > 0 xlna x lna nπ sin x cos x sin x + 2 http://tieulun.hopto.org - a.o h`am8.1. D 63 f(x) f 0 (x) f (n) (x) nπ cos x − sin x cos x + 2 1 tgx cos2 x 1 cotgx − 2 sin x 1 arc sin x √ , |x| < 1 1 − x2 1 arccosx −√ , |x| < ...