Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Tài liệu tham khảo dành cho sinh viên học môn xác suất thống kê, trong tài liệu này các bạn sẽ được tiếp xúc với các công thức cơ bản của biến ngẫu nhiên. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 2: Biến ngẫu nhiênChng 2 BI N NG U NHIÊN 33Chương 2Bi n ng u nhiên1. KHÁI NI M BI N NG U NHIÊN Như chúng ta ã bi t, m t không gian m u M có th ư c mô t khôngthu n l i n u nh ng ph n t c a M không ph i là các con s . ti n l i trongvi c mô t , gi i toán và ưa vào m t s khái ni m m i, ngư i ta s tìm m t quit c, theo ó, m i ph n t m thu c M có th ư c bi u di n b i m t s th c xtương ng. Ý tư ng này d n n khái ni m Bi n ng u nhiên. 1.1. nh nghĩa. Cho trư c không gian xác su t M. M t hàm X: M →sao cho v i m i kho ng K trong , t p h p {m ∈ M / X(m) ∈ K} là m t bi n c c a M, ư c g i là m t Bi n ng u nhiên ( vi t t t là BNN ) trên M. Mi n giá tr c a X ư c ký hi u là Im(X), i.e. Im(X) = {x ∈ / ∃m ∈ M, X(m) = x}. • ơn gi n cách vi t, bi n c {m ∈ M / X(m) ∈ K} ư c vi t là {X ∈K}. c bi t, v i các s th c a và b, các bi n c : {m ∈ M / X(m) = a}; {m ∈ M /X(m) < a}; {m ∈ M / a ≤ X(m) ≤ b}; {m ∈ M / X(m) ≥ b}; …l n lư t ư c vi t là {X = a}; {X < a}; {a ≤ X ≤ b}; {X ≥ b}; … Các xác su t P({X = a}); P({X < a}); P({a ≤ X ≤ b})… ư c vi t g n là P(X = a); P(X < a); P(a ≤ X ≤ b) … D a vào các tính ch t c a hàm th c, chúng ta có: 1.2. nh lý. Gi s X và Y là các BNN trên cùng m t không gian xácsu t M; a và b là các h ng s th c; khi ó, các hàm aX + bY, XY, max(X, Y),min(X,Y) và X/Y (v i Y ≠ 0) cũng là các BNN trên M. Ngoài ra, n u ϕ là m t hàmliên t c xác nh trên Im(X) thì ϕoX cũng là m t BNN trên M. 1.3. Thí d .Chng 2 BI N NG U NHIÊN 34 1.3.1. Tham kh o l i nh nghĩa 1.6.1 và nh lý 1.6.2; v i B(p), khônggian m u là M = {T, B}, trong ó, T và B l n lư t ch các k t qu sơ c p Thànhcông và Th t b i. Hàm s th c X trên M ư c xác nh b i: X(T) = 1 và X(B) = 0 là m t bi n ng u nhiên trên M. Qui t c thành l p hàm X là s l nthành công trong B(p). Chúng ta nói r ng X là bi n ng u nhiên ch s l n thànhcông trong B(p). X có mi n giá tr là {0, 1}, và P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 − p. 1.3.2. Trong quá trình B(n; p), không gian m u M ch a 2n i m m u, m i i m ư c bi u di n b i m t dãy n ký t g m ch T và B.Th t b t ti n. Bây gi , chúng ta xét hàm th c X xác nh trên M b i: ng v i m i i mm u m c a M, X(m) là s ch T có trong m, t c là s l n thành công trong m ik t qu sơ c p. Như v y, chúng ta có BNN X ch s l n thành công trong quátrình B(n;p). X có mi n giá tr là {0, 1, 2, …, n}, và xác su t có k thànhcông trong quá trình là: ( nh lý 1.6.2.) P ( X = k ) = Pn (k ) = Ck p k ( 1 − p) n − k , n k ∈ {0, 1, 2, …, n} Khi ó, ngư i ta nói r ng: BNN X có phân ph i nh th c, v i hai tham s nvà p. Ký hi u: X ~ B(n;p). • Chú ý r ng: N u g i Xi là BNN ch s l n thành công trong phép thth i ( 1 ≤ i ≤ n ) thì X = X1 + X2 + . . . + Xn. 1.3.3. Trong mô hình phân ph i siêu hình h c o n 1.2, n u g i X là bi nng u nhiên ch s ph n t ư c ánh d u trong m u kích thư c n thì bi n c {X = k} = Ak (Ak: “có k ph n t ư c ánh d u trong m u”)có xác su t là n−k CT . C N − T k P( X = k ) = , Cn Ntrong ó k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)}.−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Chú ý: Trong giáo trình này, khi c n tham kh o l i m t nh nghĩa, m t nh lýho c m t thí d ph n trư c, tác gi ghi thêm s chương vào phía trư c s chm c. e.g. Khi c n tham kh o nh nghĩa 6.1 chương 1, tác gi ghi: nh nghĩa1.6.1; nh lý 2.3 chương 2, s ư c ghi là nh lý 2.2.3… Khi ó, ngư i ta nói r ng: Bi n ng u nhiên X tuân theo lu t ( hay có lu t)phân ph i siêu hình h c.Chng 2 BI N NG U NHIÊN 35 1.3.4. M t công ty nghiên c u ph n ng c a th trư ng i v i m t lo i s nph m m i 3 m c : T t , trung bình và kém. Không gian m u M g m 3 bi n csơ c p: {t t, trung bình, kém}. Chúng ta có th xác nh m t bi n ng u nhiên Xtrên M như sau: X(t t) = 1; X(trung bình) = 0; X(kém) = −1. Mi n giá tr c a X là {−1, 0, 1}.2. HÀM PHÂN PH I XÁC SU T TÍCH LŨY 2.1. nh nghĩa. Cho bi n ng u nhiên X trên không gian xác su t M. V im i x thu c , {X < x} là m t bi n c , nên t n t i P(X < x). Hàm F ư c xác nhb i: ∀x ∈ , F(x) = P(X < x ) ư c g i là Hàm phân ph i xác su t ...