Mặt cầu - Khối cầu - Diện tích

Định nghĩa và các khái niệm: Kí hiệu : S(O;R)−Là mặt cầu S tâm O, bán kính R. 1− Định nghĩa mặt cầu: S ( O, R ) = {M / OM = R} 2− Các thuật ngữ: * Bán kính: A ∈ S(O;R) ⇒ OA là một bán kính của mặt cầu. * Đường kính: A, B∈ S(O;R) và O, A, B thẳng hàng ⇒ đoạn thẳng AB là một đường kính của MC. * Điểm trong: Nếu OE R ⇒ F là điểm ngoài của mặt cầu. * Mặt phẳng qua tâm mặt cầu gọi là mặt...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mặt cầu - Khối cầu - Diện tíchTùng Dương Tài liệu phụ đạo 12 Nâng cao Vấn đề 3: MẶT CẦU (MC) − KHỐI CẦU (KC) − DIỆN TÍCH & THỂ TÍCHA− TÓM TẮT CƠ SỞ LÝ THUYẾT: I− Định nghĩa và các khái niệm: Kí hiệu : S(O;R)−Là mặt cầu S tâm O, bán kính R. 1− Định nghĩa mặt cầu: S ( O, R ) = {M / OM = R} 2− Các thuật ngữ: * Bán kính: A ∈ S(O;R) ⇒ OA là một bán kính của mặt cầu. * Đường kính: A, B∈ S(O;R) và O, A, B thẳng hàng ⇒ đoạn thẳng AB là một đường kínhcủa MC. * Điểm trong: Nếu OE < R ⇒ E là điểm trong của mặt cầu. * Điểm ngoài: Nếu OF > R ⇒ F là điểm ngoài của mặt cầu. * Mặt phẳng qua tâm mặt cầu gọi là mặt kính . Giao tuyến của MC và mặt kính là đường trònC(O,R) − gọi là đường tròn lớn. * Khối cầu S(O;R) hoặc hình cầu S(O,R) là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O,R) và cácđiểm nằm trong mặt cầu đó. Ta có thể định nghĩa : Khối cầu S(O, R) = {M / OM ≤ R} 3− Yếu tố xác định mặt cầu: Biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính của mặt cầu. uuuu uuuu r r { Chú ý: Mặt cầu đường kính AB: S(AB) = M / MA.MB = 0 } II−Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Kí hiệu: d(O, (P)) = OH là khoảng cách từ tâm MC đếnmp(P). C(H, r) − là đường tròn (C) tâm H bán kính r.OH>R⇔ S(O;R)∩(P) = Φ OH = R ⇔ S(O;R)∩(P) = H OH < R ⇔ S(O;R)∩(P) = C(H, r) H− là tiếp điểm & (P) − tiếp diện r = R 2 − OH 2III− Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: 1− Xét mặt cầu S(O; R) và đường thẳng (Δ). Gọi H là hình chiếu của O lên (Δ) và d = OH. d > OH ⇔ ( Δ ) ∩ S(O;R)= Φ d = OH ⇔ ( Δ ) ∩ S(O;R)= H d < OH ⇔ ( Δ ) ∩ S(O;R)= {A, B} H− là tiếp điểm & (Δ) − tiếp tuyến Chú ý: * Đường thẳng (d) tiếp xúc với S(O;R) tại H ⇔ (d) ⊥ OH . * Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H và các đường thẳng này nằm trên tiếp diệncủa mặt cầu tại H. 2− Định lí: Nếu A là điểm ngoài của mặt cầu thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó: a) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm là bằng nhau. b) Tập hợp các tiếp điểm này là một đường tròn.Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Lưu hành nội bộ 1Tùng Dương Tài liệu phụ đạo 12 Nâng caoIV− Công thức: 4 1− Diện tích mặt cầu: S = 4 πR 2 2− Thể tích khối cầu: V = πR 3 3 ( R là bán kính mặt cầu)V− Một số điểm cần lưu ý: 1− Điều kiện để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác đáy nội tiếp được trong đường tròn. 2− Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp được trong đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nó. 3− Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vàmặt phẳng trung trực của một cạnh bên.B− LUYỆN TẬP: 1) Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB ⊥ BC, BC ⊥ CD, CD ⊥ AB. a− Chứng minh rằng có một mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. b− Cho AB = a, BC = 3a, CD = a 5 . Tính theo a diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. 2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a 3 , chiều cao là h. Tính theo a và h thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với mặt đáy là 600. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu ở câu b. 4) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy 2a. a) Tính thể tích của khối chóp theo a. b) Tính góc tạo bỡi mặt bên và đáy của hình chóp. c) Xác định tâm , tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính thể tích của mặt cầu này theo a. 5) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = a, AC = 2a và cạnh bên SA = 2avuông góc với đáy. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. b) Tính tang của góc giữa mặt bên SBC và đáy ABC. c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(SBC). Chứng minh H là trực tâm của ΔSBC. d) Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại ...