Một nghiên cứu thực nghiệm về các khó khăn liên quan đến việc học khái niệm tập mở, tập đóng trong không gian mêtric

Trong bài báo này, chúng tôi trình bày kết quả thực nghiệm về các khó khăn của sinh viên của ba trường: Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Sài Gòn và Đại học Đồng Nai khi giải quyết kiểu nhiệm vụ xét tính đóng, mở của một tập trong không gian mêtric. Các khó khăn này sinh ra bởi chướng ngại tri thức luận gắn liền với việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một nghiên cứu thực nghiệm về các khó khăn liên quan đến việc học khái niệm tập mở, tập đóng trong không gian mêtric TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 16, Số 1 (2019): 73-84 Vol. 16, No. 1 (2019): 73-84 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ CÁC KHÓ KHĂN LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC HỌC KHÁI NIỆM TẬP MỞ, TẬP ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Nguyễn Ái Quốc, Lê Minh Tuấn Trường Đại học Sài Gòn Tác giả liên hệ: Email: nguyenaq2014@gmail.com Ngày nhận bài: 14-5-2018; ngày nhận bài sửa: 12-7-2018; ngày duyệt đăng: 17-01-2019 TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi trình bày kết quả thực nghiệm về các khó khăn của sinh viên của ba trường: Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Sài Gòn và Đại học Đồng Nai khi giải quyết kiểu nhiệm vụ xét tính đóng, mở của một tập trong không gian mêtric. Các khó khăn này sinh ra bởi chướng ngại tri thức luận gắn liền với việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng như quá trình khái quát hóa khoảng mở, đóng của và bởi ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế Toán đại học đối với tập mở và tập đóng. Từ khóa: chướng ngại tri thức luận, khó khăn, không gian mêtric, tập đóng, tập mở. 1. Mở đầu 1.1. Định nghĩa tập mở, tập đóng trong ba thể chế Toán đại học Tập mở, tập đóng là hai khái niệm cơ bản của không gian mêtric và không gian tôpô. Hai khái niệm này được tiếp cận bằng ba cách khác nhau trong thể chế Toán đại học của ba trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSPTPHCM), Đại học Sài Gòn (ĐHSG) và Đại học Đồng Nai (ĐHĐN).  Thể chế Toán của Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong thể chế Toán của ĐHSPTPHCM, khái niệm tập mở và tập đóng chỉ xuất hiện trong giáo trình Tôpô đại cương và được định nghĩa theo lân cận: “Một tập hợp con U của được gọi là mở nếu với mỗi x  U, tồn tại một số thực dương  sao cho O (x)  U.” (Trần Tráng, 2005, tr. 44) “Một tập hợp con của được gọi là đóng nếu nó là phần bù của một tập hợp con mở trong .” (Trần Tráng, 2005, tr. 48)  Thể chế Toán của Đại học Sài Gòn Trong thể chế Toán của ĐHSG, khái niệm tập mở và tập đóng xuất hiện trong giáo trình “Giải tích hàm” và được định nghĩa theo hình cầu mở: “Cho không gian mêtric (X, d). Với tập con A  X , ta nói A là một tập mở (trong X) nếu ứng với mỗi x  A , tồn tại r > 0 sao cho B ( x,r )  A . Nếu X \ A là một tập mở, ta nói A là một tập đóng (trong X). (Đặng Đức Trọng, 2011, tr. 10) 73 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 1 (2019): 73-84  Thể chế Toán của Đại học Đồng Nai Trong thể chế Toán của ĐHĐN, khái niệm tập mở và tập đóng xuất hiện trong giáo trình “Cơ sở lí thuyết hàm và Giải tích hàm” và được định nghĩa theo phần trong: 0 “ Cho A là một tập con của không gian mêtric X. Ta nói A là tập mở nếu A  A . 0 Hay có thể nói A mở khi và chỉ chi A  A . Ta nói tập con A là đóng nếu X \ A là mở.” (Nguyễn Văn Khuê, 2001, tr. 18) 1.2. Một số ghi nhận và giả thuyết nghiên cứu  Ghi nhận thực tế Việc xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng như quá trình khái quát hóa của các khoảng mở, khoảng đóng của đường thẳng thực trong không gian mêtric có thể dẫn đến một số khó khăn về việc hiểu hai khái niệm này. Thật vậy, trong hai tháng 9 và 10/2017, Nguyễn Ái Quốc (2018a) đã tiến hành một thực nghiệm khảo sát dưới dạng phỏng vấn trực tiếp trên 10 sinh viên năm thứ ba ngành Sư phạm Toán của Trường ĐHSPTPHCM, ĐHSG, ĐHĐN và Đại học Khoa học Tự nhiên về định nghĩa khái niệm tập mở. Kết quả khảo sát cho thấy ở các sinh viên này có ba cách xác định một tập mở trong không gian mêtric: định nghĩa hình thức, sử dụng khái niệm biên, và tập mở được thể hiện bằng hợp các quả cầu mở. Các quan niệm này ở sinh viên khá chênh lệch so với các định nghĩa chính thức.  Kết quả phân tích tri thức luận Mặt khác, qua phân tích tri thức luận lịch sử, Nguyễn Ái Quốc (2018a) xác định được một đặc trưng quan trọng trong quá trình xây dựng khái niệm tập mở, tập đóng: Đặc trưng về cấp độ thể hiện khái niệm: Cấp độ cụ thể trên đường thẳng thực, cấp độ khái quát trong không gian Euclide n chiều, cấp độ trừu tượng hóa trong không gian Lesbesgue, không gian mêtric và không gian tôpô, tiên đề hóa trong không gian các lân cận và trong không gian tôpô. Từ đó, Nguyễn Ái Quốc (2018) xác định chướng ngại tri thức luận đối với SV khi lần đầu tiếp cận khái niệm tập mở, tập đóng: sự khái quát khái niệm tập mở từ đường thẳng thực vào không gian Euclide n chiều, và từ không gian Euclide n chiều sang không gian tôpô trừu tượng và không gian mêtric tổng quát.  Kết quả phân tích thể chế Toán Phân tích thể chế Toán của ba trường trên cho thấy sự tồn tại năm kiểu nhiệm vụ (KNV) liên quan đến tập mở, tập đóng như sau: + TCMM-ĐN: Chứng minh tập mở dựa trên định nghĩa; + TCMĐ-ĐN: Chứng minh tập đóng dựa trên định nghĩa; + TXTĐM-ĐN: Xét tính đóng, mở của một tập bằng định nghĩa; + TXĐM-KNLQ: Xét tính đóng, mở dựa trên cá ...