MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT

Tham khảo tài liệu một phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giấ trị lớn nhất, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤTMỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của những phương trình hoặc bất phương trình cho trước. Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải một bất phương trình một ẩn mà ẩn đó là biểu thức cần tìm GTLN, GTNN. Bài toán 1 : Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phương trình x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy) Lời giải : Ta có x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy) xy + 3 = x4 + y4 + 2x2y2 xy + 3 = (x2 + y2)2 (1). Do (x2 - y2)2 ≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với mọi x, y (2). Từ (1) và (2) ta có : xy + 3 ≥ 4(xy)2 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy) (t - 1)(4t + 3) ≤ 0 Vậy : t = xy đạt GTLN bằng 1 x = y = 1 ; t = xy đạt GTNN bằng Bài toán 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + 2. Tìm GTNN của x + y + z. Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có : Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 khi và chỉ khi x = y = z = 2. Bài toán 3 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9. Tìm GTLN và GTNN của A = xyz. Lời giải :x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9 (x2 + y2z2) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = 9 (1).áp dụng bất đẳng thức m2 + n2 ≥ 2|mn| với mọi m, n ta có :x2 + y2z2 ≥ 2|xyz| ; y2 + x2z2 ≥ 2|xyz| (2).Từ (1) và (2) suy ra :2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 9 3A2 + 6|A| - 9 ≤ 0 A2 + 2|A| - 3 ≤ 0 (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ 0 |A| ≤ 1 -1 ≤ A ≤ 1.Vậy : A đạt GTLN bằng 1A đạt GTNN bằng -1Bài toán 4 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2).Tìm GTLN và GTNN của x2 + y2.Lời giải : Ta có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2) (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - 3 = -3x2 ≤ 0=> t2 - 2t - 3 ≤ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0)=> (t + 1)(t - 3) ≤ 0 => t ≤ 3Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN bằng 3 khi và chỉ khi x = 0 ;Ta lại có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2) (x2 + y2)2 + x2 + y2 - 3 = 3y2 ≥ 0=> t2 + t - 3 ≥ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0)Vậy t = x2 + y2 đạt GTNN bằngkhi và chỉ khi y = 0 ;Bài tập tương tự1) Cho x, y, z thỏa mãn :2xyz + xy + yz + zx ≤ 1.Tìm GTLN của xyz.Đáp số : 1/8(x = y = z = 1/2)2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn :(x + y + z)3 + x2 + y2 + z2 + 4 = 29xyzTìm GTNN của xyz.Đáp số : 8 (x = y = z = 2).3) Tìm GTLN và GTNN của S = x2 + y2 biết x và y là nghiệm của phươngtrình :5x2 + 8xy + 5y2 = 36Đáp số : GTLN là 36GTNN là 44) Cho x và y là các số thực thỏa mãn :Tìm GTLN của x2 + y2.Đáp số : 1 (x = -1 ; y = 0).5) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn :x2 + 4y2 + z2 = 4xy + 5x - 10y +2z - 5Tìm GTLN và GTNN của x - 2y.Đáp số :GTLN là 4 (x = 2y + 4 ; y Є R ; z = 1) ;GTNN là 1 (x = 2y + 1 ; y Є R ; z = 1).6) Tìm các số nguyên không âm x, y, z, t để M = x2 + y2 + 2z2 + t2 đạtGTNN, biết rằng :Đáp số : x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0. Khi đó M đạt giá trị nhỏ nhất là 61. MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊVới mọi số thực a, b, c, ta có :(a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca)= a(a + b + c) + bc (*).Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta có ngay :Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thìa2 + 1 = (a + b)(a + c).Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thìa + bc = (a + b)(a + c).Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên.Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tínhgiá trị của biểu thức :Lời giải : Theo hệ quả 1 ta cóa2 + 1 = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ;b2 + 1 = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ;c2 + 1 = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b).Suy raVì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)= 2(ab + bc + ca) = 2.Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức.Bài toán 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1. Chứngminh rằng :Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ;bc :1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a2 ;(ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/21 = (a + b)( a + c) = a2 + (ab + bc + ca) =Bài toán 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứngminh rằng :Lời giải : Theo hệ quả 1 ta cóSử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a2 + ab ; a2 + ac :Tương tự ta cóTừ các kết quả trên ta suy ra :Bài toán sau đây nguyên là đề thi Châu á - Thái Bình Dương năm 2002 đãđược viết lại cho đơn giản hơn (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) bởi (a ; b ; c)).Bài toán 4 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minhrằng :Lời giải : Theo hệ quả 2 và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta cóTương tự ta cóTừ các kết quả trên ta suy ra :Để kết thúc, xin các bạn làm thêm một số bài tập :Bài tập 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Hãy tính giá trịcủa biểu thức :Bài tập 2 : C ...