Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

Bài toán 1: Cho f(x) xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng ax + by + c = 0 tại 3 điểm phân biệt. Chứng minh rằng xo thuộc R sao cho f(xo) = 0 và f(x) đổi dấu qua x = xo
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán giải bằng định lý LagrangeTrêng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾c Mét sè bµi to¸n ®îc gi¶I b»ng ®Þnh lÝ lagrangeBµi to¸n 1: Cho f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0trªn bÊt kú ®o¹n nµo cña R. BiÕt r»ng ®å thÞ hµm sè y = f(x) c¾t ®êng th¼ng ax + by + c= 0 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. CMR tån t¹i x0 Î R sao cho f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x =x0.LG: V× ®êng th¼ng ax + by + c =0 c¾t ®å thÞ y = f(x) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt nªn b ¹ 0. Ta®Æt: ax + c g ( x) = f ( x) + th× ph¬ng tr×nh g(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. bDo f”(x) = g”(x) vµ f(x) cã ®¹o hµm bËc hai liªn tôc vµ kh«ng ®ång nhÊt b»ng 0 trªn bÊtkú mét kho¶ng nµo cña R nªn g(x) còng cã tÝnh chÊt ®ã.Theo ®Þnh lÝ Rolle th× tån t¹i 2 nghiÖm x1 , x2 víi x1< x2, cña ph¬ng tr×nh g’(x) = 0sao cho g’(x) ¹ 0 víi x Î ( x1 ; x2 ) vµ $x0 Î ( x1 ; x2 ) sao cho g”(x0) = 0. Ta thÊy g”(x) ®æidÊu qua x0 , v× nÕu tr¸i l¹i th× g”(x) ³ 0 hoÆc g”(x) £ 0 trong [ x1 ; x2 ] ; tõ ®ã dÉn ®Õng’(x) hoÆc ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn trong [ x1 ; x2 ] , ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra.Suy ra f”(x0) = 0 vµ f”(x) ®æi dÊu qua x0 (®pcm).Bµi to¸n 2: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi v« h¹n trªn R vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a/. $M > 0 : f ( n ) ( x) £ M , x Î R, n Î N . æ1ö b/. f ç ÷ = 0, n Î N * . ènøCMR, f ( x ) º 0, x Î R ..LG: ¸p dông ®Þnh lÝ Rolle trªn c¸c ®o¹n [ a1 ; a2 ] , [ a2 ; a3 ] ,..., ta dÔ chøng minh ®îc kh¼ng®Þnh sau: Gi¶ sö f(x) cã ®¹o hµm trªn R. Gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (an) n ³ 1 héitô ®Õn x0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(an) = 0 n Î N . Khi ®ã tån t¹i d·y ®¬n ®iÖu (a’n) n ³ 1héi tô ®Õn x0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f’(a’n) = 0 n Î N . 1 Sö dông kÕt qu¶ nµy cho hµm f(x) víi an = , n Î N , sau ®ã ¸p dông tiÕp víi c¸c nhµm : f’(x), f”(x),… ta ®îc: æ1ö f (0) = lim f ç ÷ = 0 x ®¥ è nø f (0) = lim f ( a n ) = 0 x ®¥ f (0) = lim f (a n ) = 0 x ®¥ …………………….. Nh vËy f ( n ) (0) = 0, n Î N . Khai triÓn Taylor cña hµm f(x) t¹i x = 0 ta ®îc f ( x ) º 0, x Î R (®pcm).Bµi to¸n 3: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi trªn [ 0,1] vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: f (0) = 0, f (1) = 1;0 £ f ( x ) £ 1, x Î R .Trêng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh Bïi V¨n §¾cCMR, tån t¹i a, b Î ( 0;1) , a ¹ b sao cho f’(a).f’(b) = 1.(OLYMPIC New – York -76)LG: XÐt hµm sè g(x) = f(x) + x – 1. Ta thÊy g(x) kh¶ vi trªn [ 0,1] , do g(0) = -1, g(1) = 1nªn $c Î ( 0;1) sao cho g(c) = 0. Suy ra f(c) + c -1 = 0 hay f(c) = 1 – c. Theo ®Þnh lÝLagrange cho f(x) trªn c¸c ®o¹n [ 0; c ] , [c;1] ta cã: f (c ) - f (0) = f (a ) víi a Î ( 0; c ) c-0 f (1) - f (c) vµ = f (b) víi b Î ( c;1) 1- c f (c) 1 - f (c ) (1 - c)c tõ ®©y ta cã: f (a ). f (b) = . = = 1 (®pcm). c 1- c c (1 - c )Bµi to¸n 4: Cho hµm sè g(x) liªn tôc trªn [ 0,1] vµ kh¶ vi trong (0;1) vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒukiÖn g(0) = g(1) = 0. CMR, tån t¹i c Î ( 0;1) sao cho g’(c) = g(c).LG: XÐt hµm sè f ( x ) = e - x g ( x) ta cã f ( x) = [ g ( x) - g ( x)] e - xTheo ®Þnh lÝ Rolle ®èi víi hµm f(x) $c Î ( 0;1) sao chof (c ) = 0 hay [ g (c ) - g (c )] e - c = 0 hay g’(c) = g(c).Bµi to¸n 5: Cho hµm sè f(x) kh¶ vi trªn [ a; b ] vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1 a/. f (a) = ( a - b) 2 1 b/. f (b) = (b - a) 2 æ a+b ö c/. f ç ÷¹0 è 2 øCMR, tån t¹i c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau c1 , c2 , c3 Î ( a; b ) sao cho f (c1 ) f (c2 ) f (c3 ) = 1LG: Theo ®Þnh lÝ Lagrange $c1 Î (a; b) sao cho f (b) - f (a ) f (c1 ) = b-a a+b xÐt hµm sè h(x) = f ( x) + x - khi ®ã h(a).h(b) = - (a-b)2 < 0. 2 a+b Do ®ã $x0 Î ( a; b ) sao cho h(x0) = 0, hay f ( x0 ) = - x0 . Theo ®Þnh lÝ 2Lagrange, f ( x0 ) - f (a) b - x0 $c2 Î ( a; x0 ) , c2 ¹ c1 sao cho f (c2 ) = = x0 - a x0 - aTrêng THPT Yªn Phong 1 B¾c Ninh ...