Quy tắc L'Hôpital đơn điệu và một số ứng dụng

Trong bài viết này tác giả không viết về quy tắc L’Hôpital mà ta đã học trong phần giải tích đề áp dụng để tính giới hạn của hàm số vô định. Vấn đề tác giả đề cập ở đây liên quan đến tính đơn điệu của tỷ lệ hình thức dựa trên tính đơn điệu của tỷ lệ được nêu trong L’Hôpital Định lý đơn điệu. Sau đó, tác giả đưa ra một số ví dụ minh họa cho việc áp dụng quy tắc này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quy tắc L’Hôpital đơn điệu và một số ứng dụng Đ IH C K ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN QUY T C L’HÔPITAL ĐƠN ĐIỆU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TẮC ĐI U M TS NG D NG L’HÔPITAL RULE AND SOME APPLICATIONS Ngày nh n bài Ngày nhận bài : 25.1.2022 25.1.2022 ThS. Nguy n T n Bình Nguyễn Tấn Ngày nh n k t qu ph n bi n : 04.4.2022 Ngày nhận kết quả phản biện 04.4.2022 Trư ng Đ i h c Tài chính - K toán Trường Đại học Kế Ngày duyệt đăng Ngày duy t đăng : 28.4.2022 TẮT TÓM T T Trong bài vi t này, tác gi không vi t v quy t c L’Hôpital mà chúng ta đã đư c h c trong b môn 0 ∞ gi i tích nh m ng d ng đ tính gi i h n c a hàm s có d ng vô đ nh ; . V n đ tác gi đ c p f ( x) 0 ∞ f ' ( x) đây liên quan đ n tính xét đơn đi u c a t s d ng d a vào tính đơn đi u c a t s đư c g ( x) g ' ( x) phát bi u đ nh lý L’Hôpital đơn đi u . Sau đó, tác gi đưa ra m t s ví d minh h a cho vi c áp d ng quy t c này. T khóa: Tính đơn đi u, đ nh lý Lagrange, quy t c L’Hôpital đơn đi u ABSTRACT In this article, the author does not write about the L’Hôpital rule that we have learned in the analysis subject to apply to calculate the limit of a function of indeterminate form. The problem the author mentioned here related to the monotony of the form ratio is based on the monotony of the ratio stated in the L’Hôpital Monotone theorem. Then, the author gives some examples to illustrate the application of this rule Key words: Monotonicity, Lagrange theorem, L’Hôpital rule 1. Đ t v n đ Trong chương trình ph thông, chúng ta đã bi t r ng n u hàm s y = f ( x) liên t c và f '( x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm s đ ng bi n trên (a,b). xm −1 V i hàm s f ( x) = n , (m > n > 0 ; x > 1) (*) x −1 suy ra f '( x) = ( m − n ) x m+ n−1 − mx m−1 + nx n−1 . Vi c xét d u t s c a bi u th c này không h đơn gi n. ( x n − 1) 2 Do đó, ta c n s d ng đ nh lý có tên là L’Hôpital đơn đi u. 2. Đ nh lý (quy t c L’Hôpital đơn đi u [3]): Cho f , g : [ a, b ] → » là các hàm s liên t c và có đ o hàm trên kho ng (a, b) v i g ' ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) . f' f ( x) − f (b) f ( x) − f (a ) Khi đó, n u đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên kho ng (a, b) thì vaø g' g ( x) − g (b) g ( x) − g (a ) cũng đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng (a, b) . Ch ng minh. Trư c khi ch ng minh đ nh lý này, ta nh c l i đ nh lý Lagrange. Đ nh lý. N u hàm s f(x) liên t c trên [a,b] và kh vi trên (a, b) thì t n t i 1 đi m c ∈ (a, b) sao 105 T P TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN H C K f (a ) − f (b) cho f '(c) = . a−b Ch ng minh. Xem [4] f '( x) Gi s , g '( x) > 0 và đ ng bi n trên kho ng (a, b) . Khi đó, theo đ nh lý Lagrange, ∀x ∈ (a, b) g '( x) s t n t i ∀c ∈ (a, x) sao cho f ( x) − f (a ) f '(c) f '( x) = ≤ g ( x) − g (a ) g '(c) g '( x) f '( x) f ( x) − f (a) ⇔ − ≥0 g '( x) g ( x) − g (a) f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) ⇔ ≥0 g '( x) ( g ( x) − g (a )) Vì g '( x) > 0, ∀ x ∈ (a, b) nên g ( x) − g (a) > 0 . Suy ra, f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) ≥ 0 f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) ⇒ ≥0 ( g ( x ) − g ( a )) 2 f '( x) ( g ( x) − g (a )) − g '( x) ( f ( x) − f (a )) '  f ( x) − f (a )  Hay  g ( x) − g (a )  =  ≥0  ( g ( x ) − g ( a ))2 f ( x) − f (a) V y ta đã ch ng minh đư c đ ng bi n trên kho ng (a, b) . g ( x) − g (a) f ( x) − f (b) Tương t , ta cũng ch ng minh đư c đ ng bi n trên kho ng (a, b) . g ( x) − g (b) 3. Áp d ng c a quy t c L’Hôpital 3.1. Áp d ng c a quy t c L’Hôpital trong kh o sát hàm s xm −1 Ví d 1. Xét tính đơn đi u c a hàm s f ( x) = n , (m > n > 0 ; x > 1) ...