Một số ứng dụng của định lý Lagrange

Bài viết "Một số ứng dụng của định lý Lagrange" có nội dung trình bày về các hệ quả của định lý Lagrange và đưa ra một số ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giới hạn của dãy số,... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số ứng dụng của định lý Lagrange Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ L AGRANGE Phạm Văn Dũng - Hoàng Thị Minh Thúy THPT Chuyên Hưng Yên1 Định lý LagrangeĐịnh lý 1 (Định lý Lagrange). Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b] và có đạo hàm trên khoảng( a; b) thì tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f (b) − f ( a) f 0 (c) = . b−a Ý nghĩa hình họcĐịnh lý này khẳng định với giả thiết của hàm số f (nêu ở trên), thì luôn luôn tồn tại ít nhấtmột điểm thuộc đồ thị y = f ( x ) mà tại điểm đó tiếp tuyến song song với đường thẳng nốihai điểm đầu và cuối của đồ thị (như hình vẽ minh họa).Ta thường dùng các hệ quả sau đây của định lý Lagrange.Hệ quả 1. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b] và có đạo hàm trên khoảng ( a; b), ngoài raf ( a) = f (b) thì tồn tại c ∈ ( a; b) sao cho f 0 (c) = 0.Đặc biệt, nếu hàm f thỏa mãn định lý trên, đồng thời f ( a) = f (b) = 0 thì giữa hai nghiệmcủa phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm của f 0 ( x ) = 0.Hệ quả 2. Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm trên [ a, b] và phương trình f 0 ( x ) = 0 có duy nhấtnghiệm trên đoạn ấy, thì trên [ a, b] phương trình f ( x ) không thể có quá hai nghiệm.Chứng minh. Giả thiết phản chứng f ( x ) = 0 có quá hai nghiệm và do đó ta có thể giả sửphương trình ấy có quá ba nghiệm (vì nếu nó có nhiều nghiệm hơn nữa thì lập luận khôngthay đổi). Gọi x1 , x2 , x3 ( a ≤ x1 < x2 < x3 ≤ b) là ba nghiệm ấy.Theo hệ quả 1, tồn tại c1 , c2 ( x1 < c1 < c2 , x3 ) sao cho f 0 (c1 ) = f 0 (c2 ) = 0. (1)Đẳng thức (1) chứng tỏ rằng c1 , c2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình f 0 ( x ) = 0 trênđoạn [ a, b]. Điều vô lý đó chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai (đpcm). 105 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017Hệ quả 3. Nếu hàm f ( x ) liên tục trên [ a, b] và f 0 ( x ) = 0∀ x ∈ ( a, b).Khi đó f ( x ) ≡ const, ∀ x ∈ [ a, b].Chứng minh. Lấy xa0 tùy ý mà a < xa0 ≤ b. Áp dụng định lí Lagrange trên [ a, xa0 ], ta thấytồn tại c, a < c < xa0 sao mà f ( xa0 ) − f ( a) = ( xa0 − a) f 0 (c).Do f 0 (c) = 0 suy ra f ( xa0 ) = f ( a). (2)Đẳng thức (2) đúng với mọi xa0 mà a < xa0 ≤ b, và đó chính là điều phải chứng minh.2 Một số ứng dụng2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trìnhVí dụ 1. Cho a0 , a1 , . . . , an là các số thực và thỏa mãn điều kiện sau a1 a2 an a 22 a 23 a n 2n a0 + + +···+ = a0 + a1 + 2 + 3 + · · · + = 0. 2 3 n+1 3 4 n+1Chứng minh rằng phương trình a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · + nan x n−1 = 0có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2).Lời giải. Xét hàm số 1 1 1 f ( x ) = a0 x + a1 x 2 + a2 x 3 + · · · + a n x n +1 . 2 3 n+1Ta có a1 a2 an f (1) = a0 + + +···+ , 2 3 n+1 a2 22 a 23 a n 2n f (2) = 2a0 + 2a1 + 2. + 2 3 + · · · + 2. 3 4 n+1 2 3 a n 2n a2 2 a3 2 = 2 a0 + a1 + + +···+ , 3 4 n+1vì thế từ giả thiết suy ra f (0) = f (1) = f (2) = 0.Áp dụng định lí Rolle, ta thấy tồn tại c1 , c2 (0 < c1 < 1 < c2 < 2) sao cho f 0 (c1 ) = f 0 (c2 ) = 0. (3) 106 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017Từ (3) và lại áp dụng định lí Rolle với hàm f 0 ( x ), ta thấy tồn tại α, c1 < α < c2 sao cho f 0 (α) = 0. ...