Một số phương pháp giải toán số học sơ cấp - Hà Duy Hưng

Tài liệu "Một số phương pháp giải toán số học sơ cấp" cung cấp cho các bạn một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết số sơ cấp như số mũ, một khái niệm quan trọng trong việc hình thành các số p−adic, cấp của một số định lý Lagrange và ứng dụng trong các bài toán chia hết, hệ thặng dư, nghịch đảo của một số,.... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tạp và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp giải toán số học sơ cấp - Hà Duy Hưng www.MATHVN.com 1 Một số phương pháp giải toán số học sơ cấp Hà Duy Hưng Tóm tắt. Lý thuyết số có mối liên hệ gần gũi với nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như đạisố, giải tích, hình học, thậm chí cả tô pô (Ví dụ một chứng minh rất hay của Paul Erdos về sự vôhạn của tập các số nguyên tố dựa trên tôpô). Chính vì vậy các chứng minh số học thường được dựatrên nhiều ý tưởng và nhiều phương pháp khác nhau. Bài viết này đề cập đến một số khái niệm cơbản trong lý thuyết số sơ cấp như số mũ- một khái niệm quan trọng trong việc hình thành các sốp−adic, cấp của một số - định lý Lagrange và ứng dụng trong các bài toán chia hết, hệ thặng dư,nghịch đảo của một số, ... và các ứng dụng thú vị trong giải toán số học, đặc biệt trong các bài toántrong lý thuyết chia hết và đồng dư. Bài viết này dựa trên các bài giảng tôi hay sử dụng trong giảngdạy ở các buổi chuyên đề và tập huấn đội tuyển Olympic Toán học các cấp.Một vài lời khuyên khi giải các bài toán SỐ HỌC sơ cấp: 1. Đừng để hình thức đánh lừa !!! 2. Ý tưởng của các chứng minh thường hay nằm ở trong chính các chứng minh của các kết quả cơ bản. 3. Rất thường xuyên dựa vào những sự kiện đơn giản nào đấy và là phân môn có tính giải trí trí tuệ cao ==> Tập trung làm hoặc biết nhiều bài toán khó, định lý mạnh không hẳn đã tốt!!! 4. Đôi khi đòi hỏi sự tưởng tượng, những tính toán bằng tay với những phép tính rất lớn!!! Ví dụ: (a) 210 ≡ 107 (mod 2003) - VMO 2004, (b) 14 ≡ 452 (mod 2011) - VMO 2011, (c) (2n + 1)3 + 53 + 13 = (2n − 1)3 + (n + 4)3 + (4 − n)3 - Vietnam TST 2005, (d) 1729 = 12 + 123 = 93 + 103 - Câu chuyện giữa Hardy và Ramanujan.Ta xét bài toán cụ thể sau đây Bài tập 0.1. (Romania TST 2011) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n2 + 1 có hai ước dương có hiệu đúng bằng n.Bài toán nhìn qua có vẻ không đơn giản, lý do biểu thức n2 + 1 có vẻ không hề đơn giản như hìnhthức của nó. Ví dụ bài toán xét xem liệu có vô hạn ước nguyên tố có dạng n2 + 1 hay không đến nayvẫn là một OPEN PROBLEM!. Tuy nhiên, thực tế thì bài toán này chỉ cần sử dụng hiểu biết về mộtdãy quen thuộc đó là . . .Xem tiếp ở trang sau . . . www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 dãy Fibonacci, với F 0 = 0, F1 = 1, và Fn+2 = Fn+1 + Fn . Theo đẳng thức Cessani 2 n 2thì Fn+1 − Fn+2 Fn = (−1) . Do đó F2k + 1 = F2k+1 F2k−1 . Thành thử ta có thể lấy n = F2k .Kết luận: Nên học một cách hệ thống theo một giáo trình nào đó. Ví dụ về vài quyển sách số họcthích hợp với các học sinh và thầy cô dạy chuyên Toán: 1. Số học của GS. Hà Huy Khoái. 2. Elementary Theory of Numbers of Waclaw Sierpinski 3. Number Theory of A. Baker 4. Problems in Number theory bản thảo không xuất bản của Hojoo Lee (v. 2007). 5. . . . www.MATHVN.com1 LÝ THUYẾT CHIA HẾT VÀ ĐỒNG DƯ www.MATHVN.com 31 Lý thuyết chia hết và đồng dư1.1 Tổng quan Vấn đề lý thuyết: 1. Ước chung lớn nhất - Bội chung bé nhất. Định lý Berzout. 2. Số nguyên tố, hợp số - Hai định lý cơ bản liên quan đến số nguyên tố: Fermat (tổng quát: Euler) - Wilson. 3. Định lý phần (thặng) dư Trung Hoa.Các công cụ, phương pháp giải toán trong phần này rất nhiều 1. Cấp của một số và ứng dụng 2. Nghịch đảo của một số 3. Hai định lý bốn số của Euler. 4. Công thức Legendre - Polignac, Số mũ. 5. Ứng dụng của các định lý cổ điển: Định lý Trung Hoa về sự tồn tại, Định lý Fermat bé- Định lý Euler, Định lý Wilson. Bên cạnh đó một số các định lý cổ điễn quan trọng: như định lý Fermat về phân loại số nguyên tố 4k ± 1. 6. Hệ thặng dư đầy đủ, thu gọn. 7. Ba nguyên lý cơ bản: Nguyên lý sắp thứ tự tốt, Nguyên lý Dirichlet, Nguyên lý quy nạp. Đây là ba nguyên lý thường xuyên gắn bó với lý thuyết số và cũng là những nguyên lý cơ bản nhất.1.2 Cụ thể1.2.1 Ước chung lớn nhất- Định lý BerzoutĐịnh nghĩa 1. Cho n > 1 số nguyên không đồng thời bằng không và n số nguyên a1 , . . . , an khôngđồng thời bằng không. Số nguyên d lớn nhất có tính chất d | ai với mọi i = 1, n được gọi là ướcchung lớn nhất của n số a1 , . . . , an . Ta kí hiệu gcd(a1 , . . . , an ). Định lý 1. (Berzout) Tồn tại các số nguyên không x1 , . . . , xn sao cho n X gcd(x1 , . . . , xn ) = x i ai ...