MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4 Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) Với a,b 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.Bài 1: Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z)Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*)Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có :1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ]Lại áp dụng bđt (*) ta có :. 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y). 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z)--> 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z)Tương tự ta có :. 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z). 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z)--> 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z)--> P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4)--> đ.p..c.m . Dấu = xảy ra x = y = z = 3/4----------------------------------------------------------CM (*) , ta có (*) 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab 4ab ≤ (a + b)² 4ab ≤ a² + 2ab + b² 0 ≤ a² - 2ab + b² 0 ≤ (a - b)² --> luôn đúng --> (*) được CMDấu = xảy ra a = bCach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4 4/(u+v) ∡AFD = ∡MND => MN//EF. ( ) 2 x 2 + 6 x 2 + 1 .( x − 2 ) + 5Bài 3: Cho hàm số : y = f ( x ) = x 2 + 3x − 41/ Tìm tập xác định của hàm số : y = f (x) .2/ Chứng minh y ≤ 3 . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ngoại ngữTrường Đại học ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội Năm học 2003- 2004 ) Hướng dẫn: 11/ Tìm tập xác định của hàm số: y = f (x) . ( x 2 + 1).( x − 2) ≥ 0 và x 2 + 3 x − 4 ≠ 0 Vậy TXĐ : x ≥ 2 ; x ≠ 4 2/ Chứng minh y ≤ 3 . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ? y = f ( x) = ( ) 2 x 2 + 6 x 2 + 1 .( x − 2 ) + 5 x 2 + 3x − 4 3 x 2 − x 2 + 9 x − 9 x + 12 − 12 + 6 ( x 2 + 1).( x − 2) + 5 = x 2 + 3x − 4 3.( x 2 + 3 x − 4) − ( x 2 − 6 ( x 2 + 1).( x − 2) + 9 x − 17) = x 2 + 3x − 4 ( x 2 + 1 − 3 x − 2)2 ( x2 + 1 − 3 x − 2)2 = 3− ≤ 3 Vì với x ≥ 2 ; x ≠ 4 thì ≥0 ( x − 1).( x + 4) ( x − 1).( x + 4) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x 2 + 1 = 3. x − 2 ⇔ x 2 + 1 = 9 x − 18 ( Bình phương hai vế không âm) ⇔ x1 = 9 − 5 ; x 2 = 9 + 5 ⇔ x 2 − 9 x + 19 = 0 2 2Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : y = x 1 − x 2 .  Hướng dẫn: Ta có TXĐ : ∀x x ≤ 1 . x2 +1− x2 1 1 1 1 Xét y = x 1 − x 2 ≤ = . Vậy y ≤ suy ra : − ≤ y ≤ 2 2 2 2 2 2 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x 2 = 1 − x 2 ( hay x = ± ) 2 1 2 1 2 Min y = − khi và chỉ khi x = − Max = khi và chỉ khi x = . 2 2 2 2 x2 + 2Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất : P = 2 ? x +1  Hướng dẫn: TXĐ ∀x ∈ R . x2 +2 x2 + 1 + 1 1 P= = = x2 + 1 + x2 +1 x2 + 1 x2 + 1 1 1 Có : x2 + 1 + ≥2 x2 + 1 ⋅ ≥ 2⋅ 1 ≥ 2 . x +1 2 x +1 2 x2 + 2 1 Vậy ≥ 2 . Min P = 2 khi và chỉ khi x2 + 1 = x2 + 1 x2 + 1 Min P = 2 khi và chỉ khi x= 0.Bài 6: Cho ba số dương a ; b ; c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : bc ca ab A= + + ...