Một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian L p,q

Bài viết tập trung trình bày việc chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian L p,q(Ω) như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy và chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov vẫn đúng trong không gian L p,q(R+), 1 < q ≤ p < ∞ với hằng số C + k,n.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian L p,q MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian Lp,q (Ω) như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy và chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov + vẫn đúng trong không gian Lp,q (R+ ), 1 < q ≤ p < ∞ với hằng số Ck,n . Từ khóa: Không gian Lp,q , Bất đẳng thức Holder, Bất đẳng thức nội suy, Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov.1 GIỚI THIỆULý thuyết hàm là một ngành quan trọng của giải tích toán học nghiên cứu lớp gồmcác hàm đo được trên một không gian có độ đo. Vào những năm 1950, G. Lorentz đãnghiên cứu và đưa ra một không gian mới đó là không gian Lp,q . Đây là các khônggian tổng quát hơn không gian Banach Lp .Cho (Ω, Σ, µ) là không gian độ đo σ-hữu hạn và 0 < p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞. Khi đó,không gian Lp,q (Ω, µ) (xem [7]) là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực f đo được saocho kf kpq < ∞ với q 1q  R∞ 1 t f ∗ (t) dtt  p nếu 0 < p < ∞, 0 < q < ∞   kf kpq = 0 1 sup t p f ∗ (t) nếu 0 < p ≤ ∞, q = ∞   t>0trong đó µf (λ) = µ({x ∈ Ω : |f (x)| > λ}), λ ≥ 0 f ∗ (t) = inf{λ ≥ 0 : µf (λ) ≤ t}, t > 0.Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sau Đại học lần thứ haiTrường Đại học Sư phạm Huế, tháng 10/2014: tr. 17-2618 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂUHơn nữa nếu Ω = Rn , µ là độ đo Lebesgue, ta có thể biểu diễn kf kpq như sau:  1q  R∞ q  p tq−1 µf (t) p dt  nếu 0 < p < ∞, 0 < q < ∞ kf kpq = 0 1 sup tµf (t) p nếu 0 < p ≤ ∞, q = ∞.   t>0Không gian (Lp,q (Ω), k.kpq ) đã được chứng minh trong [7] là không gian định chuẩnkhi và chỉ khi 1 ≤ q ≤ p < ∞ hoặc p = q = ∞.Trên lớp không gian Lp , các nhà toán học trong và ngoài nước đã nghiên cứu mộtsố bất đẳng thức như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thứcLandau-Kolmogorov. Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov kf (k) kn∞ ≤ K(k, n)kf k∞ n−k .kf (n) kk∞ ,với 0 < k < n được nghiên cứu đầu tiên bởi L. Landau và J. Hadamard với trườnghợp n = 2. Năm 1939, A. Kolmogorov đã chứng minh bất đẳng thức trên R với hằngsố tối ưu Ck,n . Sau đó J. Hadamard, A. Gorny, A. P. Matorin nghiên cứu trên R+nhưng hằng số chưa tối ưu. Năm 1970, I. J. Schoenberg và A. Cavaretta đã tìm ra +hằng số Ck,n tối ưu cho bất đẳng thức trên R+ . Năm 2004, H. H. Bang và M. T.Thu đã chứng minh bất đẳng thức cho hàm số trong không gian Nφ (R+ ) với hằng +số Ck,n .Trong bài báo này chúng tôi sẽ chứng minh bất đẳng thức Holder, bất đẳng thứcnội suy trong không gian Lp,q và dựa vào phương pháp chứng minh của tài liệu [3],chúng tôi sẽ chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov vẫn đúng cho không +gian Lp,q (R+ ) với hằng số Ck,n trong đó 1 < q ≤ p < ∞.2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊĐịnh lý 2.1. [7] Bất đẳng thức Hardy-LittlewoodCho f, g là các hàm Σ-đo được trên Ω. Khi đó, Z Z ∞ |f (x)g(x)|dµ ≤ f ∗ (t)g ∗ (t)dt. Ω 0Định nghĩa 2.1. [7]Độ đo µ được gọi là độ đo phi hạt nhân nếu bất kì tập đo được A với µA > 0 thì tồntại tập con B của A đo được và µA > µB > 0.MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q 19Định lý 2.2. [7] Cho µ là độ đo phi hạt nhân, f1 , f2 , . . . , fn , n ∈ N là các hàm Σ-đođược trên Ω. Khi đó, Z Y n Z ∞Y n |fk (x)|dµ ≤ fk∗ (t)dt. Ω k=1 ...