Một số bất đẳng thức đại số và bài toán GTLN và GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi cao đẳng - đại học

Tài liệu tham khảo giúp rèn luyện trình độ tư duy nhạy bén về các dạng bất đẳng thức...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức đại số và bài toán GTLN và GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi cao đẳng - đại học TỔTOÁNTIN,TRƯỜNGTHPTCHUYÊNNGUYỄNBỈNHKHIÊM---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- THAM LUẬN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó của toán học phổ thông, nó th ườngxuyên xuất hiện trong các đề thi HSG cũng như thi tuyển sinh CĐ - ĐH. Đã có r ất nhi ềutác giả, nhiều tài liệu đề cập về bất đẳng thức; hôm nay, trong khuôn kh ổ của một bu ổisinh hoạt chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một s ố b ất đ ẳng th ứcvà bài toán GTLN & GTNN của một số biểu thức đại số đã được ra thi ho ặc t ương t ự v ớicác dạng trong đề thi CĐ - ĐH trong những năm vừa qua .I. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 2 số : a+b ≥ ab ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b ∀ a, b ≥ 0 : 2 1 1 1Ví dụ 1 : Cho a, b, c là các số dương thỏa : + + = 4 . a b c 1 1 1 ≤1 + + Chứng minh rằng : 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c (TSĐH - Khối A - Năm 2005) 11 1 1 x+y 1 ≤ ⇔ ≤+÷ Nhận xét : Với x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)2 ⇔ x+y 4xy x+y 4 x y Dấu (=) xảy ra ⇔ a = b Áp dụng kết quả trên, ta có : 1 1 1  1  1 1 1 1 11 1 1 1 ≤ ÷≤  + +  + ÷ =  + + ÷ 4  2a b + c 4 b c  8  a 2c  2a + b + c 4  2a 2b(1) 1 1 1 1 1 ≤ ++ Tương tự : ÷ (2) 8  2a 2c  a + 2b + c b 1 1 1 1 1 ≤ + + ÷ (3) 8  2a c a + b + 2c 2b 11 1 1 1 1 1 ≤ + +  + + ÷=1 Từ (1), (2) và (3) suy ra : 4a c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c b a = b = c  3 Dấu (=) xảy ra ⇔  1 ⇔ a=b=c= 1 1 4 a + b + c = 1  1 4 9 + + = 1 . Tìm GTNN của biểu thức :Ví dụ 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa : x y z P=x+y+z. 1 9 4 Ta có :P = x + y + z = (x + y + z).  + +÷ x y z  4x y   9x z   9y 4z  = 14 +  + ÷+  + ÷ + ...