Một số bất đẳng thức ứng với các tam giác đẳng chu

Bài viết "Một số bất đẳng thức ứng với các tam giác đẳng chu" trình bày về một lớp các bài toán bất đẳng thức trong tam giác có cùng chu vi (bằng 1) được giải quyết và sáng tạo bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng và bất đẳng thức Popoviciu mở rộng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bất đẳng thức ứng với các tam giác đẳng chu Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG VỚI CÁC TAM GIÁC ĐẲNG CHU Hoàng MInh Quân Trường THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Tóm tắt nội dung Bất đẳng thức trong tam giác là một chủ đề hay, xuất hiện trong nhiều kì thi học sinh giỏi các cấp. Bài viết sau đây trình bày về một lớp các bài toán bất đẳng thức trong tam giác có cùng chu vi (bằng 1) được giải quyết và sáng tạo bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen mở rộng và bất đẳng thức Popoviciu mở rộng. Hi vọng thông qua bài báo này bạn đọc có thể sáng tạo ra rất nhiều bài toán hay và đẹp khác bằng cách xây dựng thông qua các hàm số thích hợp. Ý tưởng cho bài viết này xuất phát từ những lần nói chuyện, trao đổi của tác giả với PGS.TS Tạ Duy Phượng về bất đẳng thức trội và các vấn đề liên quan, và học hỏi cách phát triển bài toán từ GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu thông qua các lần hội thảo toán học. 1 Bất đẳng thức Jensen mở rộng cho tam giác có chu vi bằng 1 Định lý 1. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và x, y, z là các số thực dương. Khi đó ta có a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.1) x 2 y z ( ax + by + cz)2 1 −2 Chứng minh. Xét hàm số f ( x ) = 2 trên khoảng (0, +∞) , ta có f 0 ( x ) = 3 , suy ra x x 6 1 f ( x ) = 4 > 0, ∀ x ∈ (0; +∞) nên hàm số f ( x ) = 2 lồi trên khoảng (0, +∞) . 00 x x Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta được a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ax + by + cz ≥ f a+b+c a+b+c tương đương a f ( x ) + b f (y) + c f (z) ≥ f ( ax + by + cz) vì a+b+c = 1 141 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018tương đương a b c 1 + 2+ 2 ≥ , ∀ x, y, z > 0. x 2 y z ( ax + by + cz)2Vậy Định lí (1) được chứng minh. Bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức có nhiều ứngdụng, từ bất đẳng thức này chúng ta xây dựng được nhiều bất dẳng thức mới như sauBài toán 1. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.2) 2 ma mb mc ( am a + bmb + cmc )2Bài toán 2. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.3) 2 la lb lc ( ala + blb + clc )2Bài toán 3. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.4) 2 ra rb rc ( ar a + brb + crc )2Bài toán 4. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + 2+ 2 ≥ . (1.5) 2 ha hb hc ( ah a + bhb + chc )2Bài toán 5. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2R 2R 2R 1 + + ≥ . (1.6) sin A sin B sin C ( a sin A + b sin B + c sin C )2Bài toán 6. Cho tam giác nhọn ABC có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng a b c 1 + + ≥ ...