Một số kết quả mở rộng về sự ổn định đối với bộ phận biến của phương trình vi phân thường

Từ những kết quả của Vorotnhikov V.I. về sự ổn định đối với bộ phận biến, bài viết đã chứng minh thêm được một số kết quả khác xung quanh việc xét sự ảnh hưởng của z - biến đối với bài toán y - ổn định tiệm cận và y - ổn định đều của phương trình vi phân thông qua 3 định lý và minh hoạ thêm một số khái niệm về y - xác định dấu
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số kết quả mở rộng về sự ổn định đối với bộ phận biến của phương trình vi phân thường TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 1. 2009 MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ RỘNG VỀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Hoàng Nam1 1 Phòng Đào tạo, trường Đại học Hồng Đức TÓM TẮT Từ những kết quả của Vorotnhikov V.I. về sự ổn định đối với bộ phận biến [1], bài báo đã chứng minh thêm được một số kết quả khác xung quanh việc xét sự ảnh hưởng của z - biến đối với bài toán y - ổn định tiệm cận và y - ổn định đều của phương trình vi phân thông qua 3 định lý và minh hoạ thêm một số khái niệm về y - xác định dấu. Lý thuyết toán học về sự ổn định của chuyển động đã được đặt ra đầu tiên vào năm 1892 bởi nhà toán học vĩ đại người Nga A.M. Lyapunov: “Bài toán tổng quát về sự ổn định của chuyển động”. Vào những năm 50 thế kỷ XX, bài toán ổn định đã được tổng quát thành bài toán ổn định bộ phận biến với rất nhiều thành tựu to lớn. Khi người ta nghiên cứu một trong các trường hợp giới hạn của bài toán ổn định, vấn đề tự nhiên nảy sinh là hãy quan sát đến sự ổn định của một bộ phận cố định biến nào đó, chẳng hạn góc quay của một viên đạn, độ rung động của một số thành phần trong cỗ máy,…. Một cách tổng quát: một chuyển động được mô tả bởi n biến x1, x2 ,…, xn (là hàm thời gian của t). Hãy xét sự ổn định của chuyển động đối với bộ phận biến x1, x2 ,…, xm (0 < m < n+1). Về bài toán này, I.G. Mankin đã nêu ra (không chứng minh) một số điều kiện chuyển các định lý của Lyapunov cho trường hợp ổn định đối với một bộ phận biến. Trong công trình của V.V. Rumianxep - A.S. Oziranhia đã đạt được những kết quả khá hoàn chỉnh về bài toán ổn định bộ phận biến. Khi nghiên cứu bài toán ổn định bộ phận biến (y - biến), người ta thường không quan sát bộ phận biến còn lại (z - biến). Trên thực tế đối với bài toán y - ổn định, bộ phận z- biến có thể có những ảnh hưởng nào đó đối với các điều kiện đặt ra. Năm 1995 V.I. Vôrôtnhikov đã đặt vấn đề xét tới những ảnh hưởng của z - biến đối với bài toán y - ổn định. Bài báo này đã đặt vấn đề xét tới những ảnh hưởng của z - biến đối với bài toán y - ổn định trong lý thuyết ổn định theo bộ phận biến. 1. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN Sau đây bài báo đề cập tới việc bổ sung về lý thuyết ổn định đối với bộ phận biến với các bài toán y - ổn định trong lý thuyết ổn định đối với bộ phận biến, cụ thể hoá thêm khái niệm y - xác định dấu của V - hàm đối với hệ phương trình vi phân: 28 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 1. 2009 dx = X (t , x); X (t ,0) = 0 (1) dt được xét trên miền: t ≥ 0 : y ≤ H = const > 0; z < +∞ (2) t ≥ 0 : y + W (t , x) ≤ H ; z < +∞ (3) và miền nghiệm của hệ phương trình (1): M = {x : x(t , t0 , x0 )} với x0 đủ bé. Định nghĩa. Hàm V(t,x) được gọi là y – xác định dương ( y – xác định âm) nếu: i) Tồn tại hàm W(y) xác định dương, ii) V(t,x) ≥ W(y) (V(t,x) ≤ - W(y)). Nhận xét: 1. Có thể V(t,x) xác định dương theo tất cả các biến nhưng không ổn định đối với bộ phận biến. 2 2 x + x2 Ví dụ: Hàm V= 1 4 1 + x2 Ta thấy V là hàm xác định dương đối với x1 và x2 nhưng không xác định dương đối với x1 (vì V → 0, khi x2 → + ∞). Như vậy, có thể xác định dương đối với tất cả các biến, nhưng không xác định dương đối với bộ phận biến. 2. Nếu hàm V là y - xác định dương, nó chưa chắc là xác định dương đối với mọi biến. Ví dụ. Hàm V = y2 + (z1 – z2)2 xác định dương đối với biến y và không xác định dương đối với y, z 1, z 2 . 3. Nếu V là dạng toàn phương xác định theo tất cả các biến, thì nó xác định dương theo bộ phận biến bất kỳ. Trong bài toán y - ổn định của nghiệm tầm thường x = 0 của hệ phương trình vi phân: x’ = X(t,x), X(t, 0) = 0 (1) về mặt nguyên tắc không đòi hỏi phải kiểm tra z – biến, thế nhưng trong mối quan hệ lẫn nhau của hệ trên, các z - biến này lại có ảnh hưởng nhất định tới y - biến đã kiểm tra. Sau đây là một số kết quả của phương trình vi phân đối với bộ phận biến. Định lý 1. Giả sử đối với hệ (1) tồn tại các hàm V(t,x) và W(t,x) sao cho trong miền (3) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. V(t,x) ≥ a( y + W (t , x) ) , a(.) ∈ κ (4) trong đó κ là lớp các hàm xác định dấu dương; 2. V ′ (1) ≤ 0. ...