Một số không gian xác suất trên R

Bài viết đưa ra một số không gian xác suất và từ đó xây dựng một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất nói trên. Ngoài ra, bài báo cũng xây dựng một số không gian xác suất trên tập số thực cảm sinh bởi các không gian xác suất đã xây dựng. Cuối cùng, một số ví dụ được đưa ra để minh họa cho việc tính kì vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất đã đề cập đến.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số không gian xác suất trên RTẠP CHÍ KHOA HỌCKhoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 22 - 29MỘT SỐ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TRÊNPhạm Thị Thái, Đoàn Thị Chuyên, Đặng Kim Phương3Trường Đại học Tây BắcTóm tắt: Bài báo này đưa ra một số không gian xác suất và từ đó xây dựng một số biến ngẫu nhiên trênkhông gian xác suất nói trên. Ngoài ra, bài báo cũng xây dựng một số không gian xác suất trên tập số thực cảmsinh bởi các không gian xác suất đã xây dựng. Cuối cùng, một số ví dụ được đưa ra để minh họa cho việc tính kìvọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất đã đề cập đến.Từ khóa:  - đại số Borel, biến ngẫu nhiên, độ đo xác suất, không gian xác suất, kì vọng, phương sai.1. Mở đầuTrong toán học, không gian xác suất là nền tảng của lý thuyết xác suất hiện đại (cả tronglý thuyết xác suất cổ điển). Trong lịch sử phát triển của lý thuyết xác suất cổ điển, khái niệmxác suất của biến cố được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau, tuy nhiên có thể thấy nhữngđịnh nghĩa đó đều không nói lên được bản chất toán học của vấn đề. Ngày nay, lý thuyết xácsuất được phát triển dựa trên phương pháp tiên đề và lý thuyết độ đo. Điều này đã làm cho lýthuyết xác suất thực sự là một khoa học toán học. Bài báo này xây dựng một số ví dụ minhhọa cho một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất hiện đại. Đó là không gian xácsuất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫunhiên trên không gian xác suất tổng quát. Tất cả những vấn đề nêu trên được xây dựng dựavào lý thuyết chặt chẽ của độ đo, tích phân Lebesgue,…Bài báo được trình bày theo bố cục như sau. Trước hết, dựa vào các tài liệu [1], [2] và[3] trình bày các khái niệm cơ bản cần dùng trong lý thuyết xác suất tổng quát như không gianxác suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫunhiên ở phần đầu mỗi mục. Tiếp sau đó, trong phần cuối mỗi mục, một số ví dụ minh họa chonhững khái niệm đã nêu được xây dựng với tiêu chí là đơn giản, tinh giản và chặt chẽ, làmphong phú thêm các khái niệm được đưa ra.2. Không gian xác suất2.1. Một số khái niệmĐịnh nghĩa 2.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Một họmột  - đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:các tập con của X được gọi làa) X  ;b) Nếu Athì CA ;c) Nếu  An n * 3thìAn  .n 1Ngày nhận bài: 26/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 14/4/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017Liên lạc: Phạm Thị Thái, e - mail: phamthithai68@gmail.com22Nhận xét 2.2. Có thể thay một cách tương đương điều kiện c) bởi điều kiện:c’) Nếu  An n * thìAn  .n 1Định nghĩa 2.3. Một hàm tập hợp  xác định trên  - đại sốcác tập con của tập hợpX được gọi là một độ đo trong X nếu  thỏa mãn các điều kiện sau:a) 0    A   với mọi A ;b)      0;c)  là  - cộng tính, tức là với mọi A1 , A2 ,..., An ,... là dãy tập con rời nhau thìAn    n1   An  n1 Hơn nữa,  là một độ đo xác suất nếu   X   1.Định nghĩa 2.4. Gọi bộ ba  X ,,   là không gian xác suất, ở đóX và  là độ đo xác suất trên X. Khi đó, X là không gian mẫu,là  - đại số trênlà không gian biến cố và là hàm xác suất.Ví dụ 2.5. Xét phép thử gieo con xúc xắc một lần. Gọi s là số chấm xuất hiện ở mặt trêncon xúc xắc khi gieo. Khi đó không gian mẫu X  1, 2, 3, 4, 5, 6. Xétlà họ tất cả cáctập con của X (bao gồm 26 phần tử) thìlà một  - đại số trên X. Vậylà không gianbiến cố. Tiếp theo, xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mỗi phần tử của X, có định1nghĩa  s  , s  1, 6. Từ công thức này, có thể xác định được tất cả các biến cố của6.Chẳng hạn xác suất của biến cố số chấm chẵn E  2, 4, 6 = 2  4  6 ta thấy ngay36  E   . Vậy  X ,,   là một không gian xác suất.Định nghĩa 2.6. Giả sử  , là hai độ đo trên một  - đại sốliên tục tuyệt đối đối với độ đo  nếu với mọi E là trên X. Khi đó độ đo :  E   0 thì   E   0. Kí hiệu.2.2. Một số không gian xác suất trênVí dụ 2.7. Đặt X  0,1. Kí hiệulà  - đại số trên X sinh bởi các tập con mở của X(khi đócũng là  - đại số trên X sinh bởi các tập con đóng của X). Mặt khác, có thể thấycác biểu diễn sau đây:i) Với mọi a, b  0, 1 thì:23 a, b  =ii)  =11111a,b;(a,b)=a  , b   ; j0 jjjj2 b  a j 1 j  j0  1 1 10,;a=a,a,a0,1;1=    1  ,1  jjj j 1 j 1 j 1 Bởi vì mọi tập mở trênđều là hợp không quá đếm được của các khoảng mở nêncùng với biểu diễn trên,cũng là  - đại số trên X sinh bởi họ các khoảng nửa đóng của X.1 2  Như vậy, các tập như  ,  ; 0,3 3 thể thấy1   2  1  1  ,1 ;   ;  ;3   3   3   32 ;... đều thuộc3. Hơn nữa có0, a , a 0, 1 hoặc bởi họ 0, a  , a  0, 1. Khi đó với mọicũng được sinh bởi họ các tập0, a  , a 0, 1.Thật vậy, chẳng hạn với họkhoảng đóng  a, b , a, b  0, 1 , để không mất tính tổng quát coi a, b   0, 1 . Sẽ có: a, b = X \ 0, a   b,1.Mặt khác vì  0, b và do đó  a, b nên X \ 0, b =  b,1  J  . Từ đó suy rađiều phải chứng minh.Xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mỗi E  , đặt   E  là độ đo Lebesgue([2]) của E. Rõ ràng mỗi tập thuộcđều đo được Lebesgue bởi mỗi tập con mở trên X đềulà hợp của nhiều nhất là đếm được các khoảng mở, hơn nữa mỗi khoảng mở đều là đo đượcLebesgue. Hơn nữa   X    0, 1  1. Như vậy  là độ đo xác suất trên X. Chẳng hạn tacó độ đo (xác suất) của một số tập con (biến cố) sau: 1 2   11 2  1  2 1 2     ,   = ;   0,     ,1  ;      = 0;    ;   = 0;... 3 3   3   3   3  3 3 3 3 Vậy  X ,,   là một không gian xác suất.1. Xét  - đại số trên X cho bởiVí dụ 2.8. Đặt X   j  2  j *gồm tất ...